Jalan Raya Menuju Surga: Pilihan atau Anugerah?

Anda bebas untuk memilih melanjutkan membaca atau berhenti dari membaca tulisan ini. Terserah Anda karena Anda bebas untuk lanjut atau berhenti. Benarkah Anda bebas seperti itu?

Demikian juga jalan raya menuju surga. Apakah kita bebas untuk memilih jalan raya menuju surga? Ataukah jalan raya itu sudah takdir bagi orang tertentu dan bukan untuk orang lain?

Jawaban saya mudah saja. Perhatikan siapa yang sedang bertanya. Jika yang bertanya adalah anak muda maka jawablah: jalan raya itu sesuai dengan pilihan bebas kamu. Dengan demikian, anak muda itu lebih semangat untuk memilih jalan raya kebaikan agar bisa masuk surga. Jika yang bertanya orang dewasa sudah tua maka jawablah: jalan raya itu adalah anugerah terbaik dari Tuhan Maha Bijaksana. Sehingga orang dewasa lebih ikhlas menerima realitas.

Tetapi, apa jawabannya sebenarnya? Bila Anda berlanjut betanya seperti itu maka Anda mirip dengan saya yaitu sama-sama keras kepala. Silakan lanjut baca saja.

1. Pilihan Bebas Menuju Tak-Terjangkau
2. Pilihan Tak-Terhindari
3. Anugerah Bisa-Diukur
4. Hampir Absolut
5. Diskusi

Kali ini, kita akan membahas dengan mengambil inspirasi teori matematika paling canggih: large cardinal numbers.

1. Pilihan Bebas Menuju Tak-Terjangkau

Di dalam matematika terkenal aksioma pilihan – axiom of choice (AC): kita bisa memilih sesuatu dengan baik.

Bayangkan di alam raya yang besar ini terdapat banyak jalan raya; sangat banyak yaitu tak terhingga. Masing-masing jalan raya itu, panjangnya tak hingga. Kita bisa menyusuri jalan raya itu tapi tak pernah sampai ujung akhir. Anda pernah naik pesawat terbang super cepat? Atau kereta cepat Jakarta Bandung semisal Whoosh? Kita bisa naik mobil balap atau pesawat dengan kecepatan cahaya. Tetap saja, kita tidak bisa menjangkau ujung akhir jalan raya itu. Bagaimana pun kita masih bisa memilih untuk menyusuri jalan raya itu.

Jalan raya di atas disebut sebagai tak-terjangkau (inaccessible); sebuah bilangan kardinal besar pertama; yaitu kardinal paling kecil; masih banyak kardinal yang lebih besar. Kita bisa menetapkan bahwa bilangan tak-terjangkau itu memang ada; ujung akhir jalan raya yang tak-terjangkau itu memang ada.

“Thus, the existence of a regular limit cardinal must be postulated as a new axiom. Such a cardinal is called weakly inaccessible. If, in addition κ is a strong limit, i.e., 2^λ < κ, for every cardinal λ < κ, then κ is called strongly inaccessible. ” (SEP).

“Oleh karena itu, keberadaan suatu kardinal limit yang reguler harus dipostulatkan sebagai sebuah aksioma baru. Kardinal semacam ini disebut lemah takterjangkau (weakly inaccessible cardinal). Jika selain itu κ juga merupakan kardinal limit kuat, yaitu memenuhi 2^λ < κ untuk setiap kardinal λ<κ, maka κ disebut sebagai sangat takterjangkau (strongly inaccessible cardinal).”

Apakah, bagi kita, jalan raya menuju surga itu pilihan atau anugerah? Pilihan. Sampai tahap ini, jawaban kita adalah: pilihan bebas. Meski jalan raya itu sendiri adalah anugerah tetapi penentu akhir adalah pilihan manusia; pilihan kita; seseorang mau memilih menyusuri jalan raya atau tidak.

Anda akan memilih menyusuri jalan raya menuju surga? Atau memilih jalan lain? Anda bebas untuk memilihnya sampai tahap ini. Tentu memilih jalan surga adalah pilihan terbaik bagi kita untuk menyusuri sajadah panjang ini.

2. Pilihan Tak-Terhindari

Mahlo kita sebut sebagai kardinal besar tak-terhindari; jauh lebih besar dari tak-terjangkau.

“Also, a subset S of κ is called stationary if it intersects every closed unbounded subset of κ … A regular cardinal κ is called Mahlo if the set of strongly inaccessible cardinals smaller than κ is stationary.”  (SEP).

“Sebuah himpunan bagian S dari κ disebut stasioner apabila S beririsan dengan setiap himpunan takterbatas tertutup (closed unbounded set) dalam κ. Sebuah kardinal reguler κ disebut Mahlo apabila himpunan kardinal sangat takterjangkau yang lebih kecil dari κ merupakan himpunan stasioner.”

Bayangkan jalan raya super besar yang tak-terjangkau. Bila kita memilih menyusuri jalan raya itu cukup jauh maka tak terhindarkan kita akan menemui banyak lampu lalu lintas (traffic light). Jalan raya lengkap dengan lampu itulah tak-terhindari. Lampu lalu lintas ini mengatur persimpangan yang banyaknya jalan raya adalah tak hingga; seluruh jalan raya akan bertemu di persimpangan stasioner lampu lalu lintas itu.

Apakah, bagi kita, jalan raya menuju surga adalah pilihan bebas? Pilihan. Jawabannya, sampai tahap ini, adalah pilihan bebas. Manusia bisa memilih untuk menyusuri jalan raya itu lebih jauh sampai menemukan lampu; dan melanjutkan perjalanan lebih jauh lagi.

Lebih jauh ke mana? Pokoknya lebih jauh. Kita, sebagai manusia, hanya bisa memilih untuk berjalan lebih jauh; menuju surga, menyusuri surga. Tetapi tidak tahu bagaimana dan ke mana. Hanya saja, Anda pasti akan mencapai persimpangan stasioner yang ada lampu lalulintas ini, yaitu menuju Mahlo, setelah jauh melampaui jalan raya tak-terjangkau (inaccessible).

3. Anugerah Bisa-Diukur

Sejatinya masih ada lebih banyak kardinal besar lagi menuju surga. Tetapi, kita fokus ke bagian paling pentingnya: kardinal besar bisa-diukur atau measurable.

“It turns out that a cardinal κ is measurable if and only if there exists an elementary embedding j:V→M, with M transitive, so that κ is the first ordinal moved by j, i.e., the first ordinal such that j(κ)≠κ. We say that κ is the critical point of j, and write crit(j)=κ. The embedding j is definable from a κ-complete non-principal measure on κ, using the so-called ultrapower construction.” (SEP).

“Ternyata, sebuah kardinal κ bersifat terukur (measurable) jika dan hanya jika terdapat suatu pemetaan elementer j:V→M, dengan M transitif, sedemikian sehingga κ merupakan ordinal pertama yang dipindahkan oleh j, yaitu ordinal pertama yang memenuhi j(κ)≠κ. Dalam hal ini, dikatakan bahwa κ adalah titik kritis dari j, dan ditulis sebagai crit(j)=κ. Pemetaan j ini dapat didefinisikan dari suatu ukuran tak-prinsipal (non-principal measure) dan κ-lengkap, dengan menggunakan konstruksi yang disebut ultrapower.”

Setelah menyusuri jalan raya raksasa dan menemui lampu lalu lintas (traffic light) maka, berikutnya, kita menemukan kardinal besar measurable (dapat-diukur). Apa yang dapat-diukur itu? Yang dapat-diukur adalah anugerah Tuhan yang lebih besar dari tak-terhindari mau pun tak-terjangkau. Anugerah ini benar-benar besar karena memang dapat-diukur. Kita hanya bisa mengukur anugerah itu ketika ikhlas menerima anugerah. Bila seseorang memaksakan pilihannya atau kemauannya atau keinginannya maka paling banter ia sampai tak-terhindari atau tak-terjangkau; sangat sulit untuk mencapai dapat-diukur. Pada tahap measurable memang perlu sikap ikhlas yang luas.

Apakah jalan raya menuju surga merupakan pilihan atau anugerah? Anugerah. Jawabannya, sampai tahap ini, jalan menuju surga adalah anugerah sangat besar dari Tuhan Maha Baik. Kita tidak bisa memilih lagi; atau ketika seseorang memilih maka pilihannya akan menjatuhkan dia ke jalan raya yang lebih bawah. Hanya ikhlas yang bisa mengantarkan sampai jalan raya bisa diukur ini.

Axiom of choice (AC) – aksioma pilihan – berlaku untuk bilangan asli; berlaku untuk kehidupan alami sehari-hari. AC tetap berlaku untuk kardinal besar tahap awal; kita bisa memilih menyusuri jalan raya tak- terjangkau sampai menemukan lampu (tak-terhindari). AC mulai melemah; aksioma pilihan mulai tidak berlaku untuk measurable; mulai tidak berlaku untuk anugerah besar yang dapat-diukur oleh anugerah besar itu sendiri; meski AC masih bisa berlaku dalam kadar tertentu. Orang dewasa mulai mengutamakan sikap ikhlas terhadap segala anugerah realitas.

4. Hampir Absolut

Perjalanan kita mengantar kepada hampir-absolut; mirip dengan absolut tetapi ada jarak yang tidak memisahkan.

Kardinal besar paling kuat sejauh ini adalah rank-into-rank; tingkat ke tingkat; maqom ke maqom; atau sejenisnya.

“Axiom I1: There is a nontrivial elementary embedding of V(λ+1) into itself.
Axiom I0: There is a nontrivial elementary embedding of L(V(λ+1))  into itself with critical point below λ.

These are essentially the strongest known large cardinal axioms not known to be inconsistent in ZFC; the axiom for Reinhardt cardinals is stronger, but is not consistent with the axiom of choice.” (Wikipedia).

“Aksioma I1: Terdapat pemetaan elementer non-trivial dari V(λ+1)​ ke dirinya sendiri.

Aksioma I0: Terdapat pemetaan elementer non-trivial dari L(V(λ+1)) ke dirinya sendiri dengan titik kritis di bawah λ.

Aksioma-aksioma ini pada dasarnya merupakan aksioma kardinal besar (large cardinal axioms) terkuat yang diketahui dan belum terbukti inkonsisten dalam kerangka ZFC. Aksioma untuk kardinal Reinhardt lebih kuat, namun tidak konsisten dengan aksioma pilihan (axiom of choice).”

Aksioma pilihan makin melemah atau pudar ketika rank makin kuat. Sementara itu anugerah makin besar dan sikap ikhlas makin jelas. Kita lebih besar mengandalkan ikhlas ketimbang pilihan bebas.

5. Diskusi

Bagaimana menurut Anda?

Perlu kita catat bahwa kardinal besar di atas adalah lebih besar dari infinity; lebih besar dari tak-hingga. Ketika kita belajar kalkulus Newton atau Leibniz, maksud infinity atau tak-hingga adalah N yaitu kardinalitas bilangan asli; yaitu bilangan asli terbesar yang lebih besar dari semua bilangan asli. Atau, tak-hingga adalah kardinalitas bilangan real R = 2^N.

Kardinal besar pertama, yang kita bahas di atas, adalah inaccessible (tak-terjangkau) yang jauh lebih besar dari R. Bahkan, kita tidak bisa menghitung inaccessible dengan mengolah R; mengalikan, memangkatkan, pangkat atas pangkat dan semuanya tidak akan menjangkau yang tak-terjangkau.

Singkatnya, kardinal besar adalah jauh lebih besar dari infinity yang dibahas Newton atau Leibniz. Masih banyak mutiara hikmah dari kardinal besar yang perlu kita jelajahi lebih lanjut. Apakah umat manusia akan siap?