Putri Tidur Jago Matematika

Kisah Putri Tidur mengguncang dunia lagi pada tahun 2000-an sampai sekarang. Pasalnya, Putri yang cantik ini bukan hanya penuh pesona tetapi jagoan matematika. Putri berhasil membuat seluruh tokoh matematika, sains, dan teknologi kebingungan. Para tokoh dunia ini, termasuk Anda, akan sulit memilih jawaban 1/2 atau 1/3.

Lebih menantang lagi, masalah Putri ini berhubungan dengan probabilitas statistik yang sederhana. Sedangkan kehidupan umat manusia, saat ini, hampir seluruhnya mengandalkan statistik. Bagaimana nasib umat manusia bila tidak bisa menjawab soal statistik sederhana?

1. Eksperimen Pikiran
2. Koin Imbang
3. Hari Senin
4. Pendukung 1/2
5. Pendukung 1/3
6. Alternatif Situasi
7. Diskusi

Problem Putri Tidur muncul dari eksperimen pikiran. Setelah 20 tahun, sampai 2024 ini, belum ada solusi yang disepakati. Terdapat dua kubu sama kuat yaitu kubu 1/2 lawan kubu 1/3.

1. Eksperimen Pikiran

Putri bersedia mengikuti eksperimen pikiran.

[a] Ahad sore, Putri minum pil tidur sehingga dia tidur pulas dan lupa ingatan jangka pendek; tetapi tetap cerdas dan cantik.

[b] Ketika Putri tidur, peneliti melempar koin imbang yang mungkin menghasilkan H (head; gambar kepala) atau T (tail; ekor).

[c1] Bila menghasilkan H maka Senin pagi Putri dibangunkan dan ditanya: berapa probabilitas H?

Kemudian, Putri tidur lagi sampai dibangunkan Rabu pagi dan percobaan selesai.

[c2] Bila koin menghasilkan T maka Putri dibangunkan Senin pagi dan ditanya: berapa probabilitas H?

Kemudian, Putri tidur lagi. Dibangunkan Selasa pagi dan ditanya: berapa probabilitas H? Lalu tidur lagi dan dibangunkan Rabu pagi, eksperimen selesai.

[d] Berapa jawaban Putri terhadap pertanyaan: berapa probabilitas H?

2. Koin Imbang

Dalam eksperimen ini, kita menggunakan koin imbang sempurna: probabilitas H = 1/2 dan probabilitas T = 1/2.

3. Hari Senin

Awalnya, Putri ditanya pada Senin pagi. Tetapi bisa jadi Selasa pagi. Putri hilang ingatan jangka pendek sehingga tidak bisa mengenali Senin atau Selasa.

4. Pendukung 1/2

Karena probabilitas H = 1/2 maka kejadian eksperimen Putri Tidur tidak berpengaruh. Jadi jawaban yang benar adalah 1/2.

Jawaban 1/2 adalah masuk akal dan banyak tokoh mendukung jawaban 1/2 ini.

5. Pendukung 1/3

Analisis lebih mendalam bisa menggeser kita ke jawaban 1/3. Ada 3 jenis kejadian yang mungkin:

[K] Senin dan H
[L] Senin dan T
[M] Selasa dan T

P(K) = P(L) = P(M) = 1/3.

Probabilitas H adalah P(K) = 1/3. Banyak tokoh mendukung jawaban 1/3 ini.

6. Alternatif Situasi

Kedua kubu mengembangkan beragam argumen untuk mendukung kubu masing-masing. Kubu 1/2 makin yakin dengan jawaban 1/2; dan kubu 1/3 makin yakin dengan jawaban 1/3. Lebih dari itu, masing-masing kubu juga merumuskan kontra argumen. Kubu 1/2 mengembangkan kontra argumen yang membatalkan jawaban 1/3; dan kubu 1/3 mengembangkan kontra argumen yang membatalkan jawaban 1/2.

Singkat cerita: tidak ada solusi sampai hari ini. Kok bisa?

Bagaimana menurut Anda? Seorang penulis blog mengaku bahwa pendapat dia osilasi antara 1/2 lalu pindah mendukung 1/3; pindah lagi mendukung 1/2; pindah 1/3; pindah lagi tanpa henti.

Berikut kita buat alternatif situasi agar pilihan jawaban lebih terasa ekstrem.

[a] 99 Kali Ditanya

Ketika koin muncul T maka Putri dibangunkan lalu ditanya; tidur lagi lalu dibangunkan dan ditanya lagi; berulang sampai 99 kali. Prosedur eksperimen diasumsikan bisa diatur dengan baik sehingga Putri tetap sehat dan cantik.

Terjadi 99 kali proses bertanya ketika T; dan 1 kali proses bertanya ketika H. Jadi probabilitas H = 1/100 atau 1%.

Skenario di atas menguatkan kubu 1/3.

[b] Juara Dunia

Eksperimen koin diganti dengan pertandingan bulu tangkis. Hidayat adalah H adalah juara dunia bulu tangkis dengan nama lengkap Taufik Hidayat; akan bertanding melawan Toni adalah T adalah siswa TK yang baru mengenal bulu tangkis. Probabilitas H menang adalah 99%; probalitas T adalah 1%.

Ketika Putri tidur, H bertanding bulu tangkis lawan T.

Senin pagi, Putri ditanya: berapa probabilitas H menang? Apakah Putri akan berpikir juara dunia H bisa dikalahkan oleh anak TK itu? Juara dunia hampir pasti menang. Probabilitas H adalah 99%.

Skenario di atas menguatkan jawaban 1/2. Probabilitas tidak berubah.

[c] Juara Dunia 99 Kali

Skenario berikutnya adalah kombinasi dari dua skenario di atas. Lempar koin diganti dengan pertandingan bulu tangkis H, yang juara dunia, lawan T yang anak TK. Bila T memang maka Putri akan ditanya 99 kali.

Berapa probabilitas H? Apa jawaban Putri Tidur yang cantik?

Kubu 1/2 akan menjawab 99%; kubu 1/3 akan menjawab 1%.

7. Diskusi

Putri Tidur menjadikan ahli statistik tidak bisa tidur. Kajian matematika perlu untuk terus terjaga; kadang-kadang, matematika mengajak pikiran terbuka; sejatinya, sains justru mengajak kita untuk berpikir terbuka.

Mari sedikit kita modifikasi lagi.

Gunakan koin imbang. Jika muncul H maka masukkan 1 bola hijau ke keranjang; jika muncul T maka masukkan 2 bola putih dalam keranjang.

Berapa probabilitas H? Berapa probabilitas mendapat bola hijau bila mengambil 1 bola dari keranjang tertutup?

Analisis apriori menunjukkan probabilitas H adalah 1/2; mendukung kubu 1/2. Warna bola dalam keranjang tidak berpengaruh terhadap probabilitas koin imbang yaitu tetap 1/2.

Analisis posteriori menunjukkan probabilitas H, dalam arti memperoleh bola hijau, adalah 1/3; mendukung kubu 1/3. Asumsikan lempar koin terjadi 2 kali; untuk kemudahan memahami. 1 kali koin dapat H maka 1 bola hijau masuk keranjang; dan 1 kali koin dapat T maka 2 bola putih masuk keranjang; total ada 3 bola dalam keranjang. Probabilitas mendapat bola hijau dari keranjang adalah 1/3.

Analisis apriori memberi hasil yang beda dengan posteriori? Atau, analisis apriori mengkaji obyek yang berbeda dengan posteriori? Dalam skenario koin dan bola memang tampak berbeda obyek. Sementara, dalam kasus Putri Tidur, obyek apriori tampak sama dengan obyek posteriori.

7.1 Eksperimen 1 Kali

Asumsikan eksperimen Putri Tidur dilaksanakan hanya satu kali maka jawaban lebih tepat adalah kubu 1/2.

Ketika hari Senin, Putri ditanya berapa probabilitas H? Jawaban 1/2.

Ketika hari Selasa, Putri ditanya berapa probabilitas H? Jawaban tetap 1/2. Karena Putri tidak ingat dengan hari Senin dan tidak tahu bahwa hari itu adalah Selasa.

7.2 Eksperimen 2 Kali

Putri ditanya 3 kali dalam skenario eksperimen 2 kali ini. Terjadi pertanyaan 1 kali karena H yaitu hari Senin; dan pertanyaan 2 kali kerena T yaitu Senin dan Selasa.

Berapa probabilitas H? Putri menjawab 1/3 sesuai dengan kubu 1/3. Putri tidak tahu hari apa ketika ditanya. Tetapi Putri tahu bahwa H hanya terdiri 1 hari dari 3 hari yang ada.

7.3 Perspektif

Beda perspektif maka makin kaya akan perbedaan.

Perspektif “koin” adalah mencatat kejadian koin dalam 2 eksperimen = {H, T}. Berapa probabilitas H? Putri menjawab 1/2.

Perspektif kejadian “penanyaan” adalah mencatat kejadian proses penanyaan dalam 2 kali eksperimen = {Senin-H, Senin-T, Selasa-T}. Berapa probabilitas H? Putri menjawab 1/3.

Putri Tidur mengenalkan dua perspekif: perspektif-koin dan perspektif-penanyaan. Apakah dua perspektif ini bisa disatukan? Kita hanya bisa saling memahami. Kita bisa memahami dua perspektif; kita bisa memahami lebih banyak ragam perspektif. Tetapi perspektif yang beragam tidak boleh dipaksa menjadi seragam. Putri Tidur mengajarkan kita hikmah yang tinggi: kita perlu saling menghormati.

Satu fenomena bisa kita pandang dari perspektif beragam. Putri bisa memandang langsung ke kejadian koin; perspektif-koin. Putri juga bisa memandang kejadian berupa proses penanyaan terhadap dirinya tentang koin: perspektif-penanyaan. Kita bisa mengikuti cara pandang seperti Putri. Dalam fenomena nyata, misal politik, ekonomi, budaya, agama, seni, sains, dan lain-lain, wajar saja terjadi keragaman perspektif.

Jadi, akhirnya, lebih benar kubu 1/2 atau kubu 1/3? Kedua kubu benar sesuai perspektif masing-masing. Kubu 1/2 benar sesuai perspektif-koin; kubu 1/3 benar sesuai perspektif-penanyaan. Lebih benar lagi ketika kita saling memahami dan saling menghargai.

Bagaimana menurut Anda?