Derajat Ketimpangan Ekonomi: Dari Kurva Lorenz ke Rasio Gini

Saya kagum dengan kurva Lorenz yang menggambarkan dengan baik sebaran ekonomi dari suatu populasi – kekayaan, pendapatan, pengeluaran dan lainnya. Kemudian menjadi satu angka pasti menjadi index Gini – rasio Gini – yang menggambarkan tingkat ketimpangan ekonomi.

Metode menghitung rasio Gini juga mudah bisa hanya dengan relatif mean of difference dari sebarang data. Tanpa harus menggambar kurva Lorenz di awal. Tetapi kita kehilangan makna sejati index Gini bila dipisahkan dari kurva Lorenz. Sementara menggambar kurva Lorenz kadang butuh usaha yang tidak mudah.

Maka saya mengusulkan “derajat ketimpangan” yang dapat langsung kita hitung dari index Gini untuk kemudian, dengan mudah, membuat sketsa kurva Lorenz.

Pun makna dari derajat ketimpangan juga mudah dipahami secara intuitif. Derajat ketimpangan dimulai dari 1 sampai tak terhingga – secara teoritis. Cara menghitung derajat ketimpangan sudah saya tulis pada tulisan-tulisan saya sebelumnya.

Derajat ketimpangan = n = 1 bermakna tidak ada ketimpangan sama sekali. Semua anggota populasi memiliki kekayaan 1 ukuran sama persis. Derajat ketimpangan = DK = n = 1 bersesuai dengan grafik linear, pangkat 1 untuk kurva Lorenz. Dan setara dengan index Gini G = 0.

Derajat ketimpangan = n = 2 bermakna terjadi ketimpangan sesuai dengan kurva Lorenz fungsi pangkat 2. Bersesuaian dengan G = 0.33, boleh dikatakan buruk bila DK di atas 2.

Derajat ketimpangan = n = 3 bermakna terjadi ketimpangan sesuai dengan kurva Lorenz fungsi pangkat 3. Bersesuai dengan G = 0,5 boleh dikatakan ketimpangan buruk sekali bila DK di atas 3.

Dan seterusnya nilai DK bisa kita tentukan dan lengkap dengan klasifikasi. Nilai DK bisa saja berupa pecahan campuran lebih dari 1.

Bagaimana menurut Anda?

Catatan:

Formula menghitung derajat ketimpangan = n dari index Gini = G

Grafik n terhadap G dimana valid untuk 0 < G < 1

Contoh estimasi kurva Lorenz untuk G = 0,8 dengan pendekatan eksponen logaritmik.

Contoh estimasi kurva Lorenz dengan pendekatan polinom

Kesenjangan Ekonomi RI Lebih dari Timor

Apakah ada rasa malu ketika kesenjangan ekonomi di Indonesia jauh lebih parah dari Timor Leste yang baru merdeka dari Indonesia?

Kesenjangan ekonomi diukur dengan rasio Gini. Indonesia G = 0,833 sedangkan Timor Leste G = 0,565. Nilai G makin besar menunjukkan makin timpang tingkat ekonominya. Makin tidak merata kekayaan di negara tersebut.

Nilai G maksimal = 1,00 yang berarti terjadi kesenjangan maksimal. Yaitu hanya ada 1 orang mahakaya menguasai semua kekayaan. Sementara orang lain tidak memiliki kekayaan sama sekali.

Nilai G minimal = 0,00 yang berarti tidak ada kesenjangan sama sekali. Semua penduduk memiliki kekayaan dalam jumlah sama persis.

Secara praktis nilai G akan lebih dari 0 tetapi kurang dari 1.

Apa arti nilai G Indonesia 0,833 sedangkan G Timor = 0,565?

Kita akan mencoba membandingkan keduanya. Hasil perbandingan ini bisa di luar dugaan. Karena sangat timpang.

1. Rasio Gini G di atas 0,4 adalah buruk. Maka Timor Leste termasuk buruk (G = 0,565). Apalagi Indonesia, buruk sekali (G = 0,833). Saya sendiri membuat klasifikasi buruk bila G di atas 0,33. Hasilnya sama saja. Indonesia dan Timor sama-sama buruk.

OECD pernah menerbitkan laporan bahwa kesejahteraan ekonomi umat manusia makin meningkat (sebelum pandemi) tetapi kesenjangan juga meningkat. Ketimpangan ini berbahaya bagi kemanusiaan secara umum. Maka kita perlu solusi.

2. Index Gini G adalah inti dari kurva Lorenz. Tetapi sejatinya G tidak berarti apa-apa tanpa kurva Lorenz. Maka kita perlu mendapatkan info kurva Lorenz. Sayangnya kurva Lorenz tidak tersedia dari badan resmi nasional mau pun internasional. Sehingga kita hanya bisa mengestimasinya. Saya mengembangkan cara estimasi kurva Lorenz menggunakan integral polinom sederhana.

Hasil estimasi ini mengagetkan saya karena ketimpangan ekonomi begitu besar. Tak tercermin dari index G yang tampak sederhana hanya antara 0 dan 1.

Misal Timor G = 0,5 maka 10% orang terkaya memiliki harta 300 kali lipat dari orang termiskin.

Sedangkan Indonesia G = 0,8 maka 10% orang terkaya memiliki harta 600 000 000 kali dari orang termiskin.

Estimasi ini seperti tidak masuk akal. Beberapa laporan riset menunjukkan bahwa orang terkaya di Indonesia hanya memiliki kekayaan 7 kali atau 8 kali dari orang termiskin.

Tetapi intuisi kita bisa membenarkan estimasi saya. Bila orang termiskin tidak punya apa-apa. Hidup hanya numpang. Bisa dianggap hanya punya kekayaan 1 rupiah. Maka orang terkaya memiliki harta 1 x 600 000 000 = 0,6 milyar rupiah. Masuk akal. Harga 1 mobil saja bisa lebih dari 1 milyar rupiah kan?

3. Ketimpangan yang terbukti perlu solusi. Bukti matematika yang saya kembangkan makin kokoh. Maka kita perlu solusi untuk pemerataan ekonomi.

Solusinya adalah memberikan dan membuka akses pendidikan berkualitas untuk semua warga. Khususnya warga miskin perlu mendapat insentif untuk ikut pendidikan berkualitas. Mendapat dorongan untuk sekolah di sekolah berkualitas – lengkap dengan ancaman bagi yang melanggar.

Solusi ekonomi dan politik secara struktural tentu sangat diperlukan.

4. Lebih banyak orang kaya di Indonesia. Kita patut besyukur. Angka kemiskinan Indonesia di bawah 10%. Maka orang Indonesia yang tidak miskin ada lebih dari 90%. Luar biasa!

Ukuran miskin tentu beragam. Salah satunya adalah berdasar pendapatan (atau pengeluaran).

“Iya, jadi garis kemiskinan di Maret 2018 itu menurut pendapatannya Rp 401.220 per kapita per bulan,” kata dia saat dihubungi detikFinance, Jakarta, Senin (16/7/2018).

Orang yang pendapatannya di bawah 400 ribu rupiah per bulan adalah orang miskin. Misalnya sebagian kecil dari pendapatan ini mampu ia simpan menjadi aset maka itu menjadi miliknya. Anggap saja orang miskin mampu menahan 1 ribu rupiah saja menjadi aset miliknya. Itulah kekayaan mereka: 1 ribu rupiah.

Kita bisa menghitung kekayaan orang terkaya di Indonesia, 10% terkaya.

= 1 ribu x 600 000 000 rupiah

= 600 milyar rupiah

= 0,6 trilyun rupiah

Kekayaan yang sangat besar.

Dengan asumsi ini kita menyimpulkan: ada 10% penduduk termiskin di Indonesia yaitu 27 juta orang miskin dengan kekayaan 1 ribu rupiah. Di sisi lain, 10% orang terkaya ada 27 juta orang kaya dengan kekayaan masing-masing 0,6 trilyun rupiah.

Ternyata banyak juga orang Indonesia yang kaya raya.

Bisa jadi kekayaan mereka tidak merata. Tepat. Kita bisa menganalisis lebih lanjut.

5. Orang terkaya Indonesia versus Timor. Kita bisa kembali membandingkan dengan negara tetangga: Timor Leste.

Karena Timor G = 0,5 maka ketimpangannya tidak seburuk Indonesia yang G = 0,8. Timor hanya berhubungan dengan pangkat n = 3 sedangkan Indonesia berhubungan dengan pangkat n= 9.

Asumsi orang termiskin di Timor punya harta 1 ribu rupiah maka orang terkaya di Timor memiliki kekayaan,

= 1 ribu x 300 rupiah

= 300 ribu rupiah

Tapi tidak masuk akal bila orang terkaya hanya punya aset kurang dari 1 juta rupiah. Maka kita perlu asumsi lebih besar lagi. Misal orang termiskin memiliki aset 1 juta rupiah maka orang terkaya memiliki aset 0,3 milyar rupiah.

Jadi untuk Timor kita bisa menyimpulkan, dengan asumsi lebih besar, ada 10% orang termiskin sekitar 100 ribu orang masing-masing memiliki kekayaan 1 juta rupiah. Di sisi 10% orang terkaya ada 100 ribu orang masing-masing memiliki kekayaan 0,3 milyar rupiah.

Indonesia baru-baru ini menjadi negara pendapatan menengah atas. Lebih dari 4 ribu dolar per kapita per tahun. Sementara Timor justru masuk sebagai salah satu negara miskin di dunia. Maka asumsi bahwa orang Indonesia lebih kaya dari orang Timor bisa dipertimbangkan.

Asumsikan orang termiskin di Indonesia memiliki aset yang sama dengan orang termiskin di Timor yaitu sebesar 1 juta rupiah.

Maka 10% orang terkaya di Indonesia memiliki aset kekayaan.

= 1 juta x 600 000 000 rupiah

= 600 trilyun rupiah

Ada 27 juta orang terkaya di Indonesia masing-masing memiliki kekayaan 600 trilyun rupiah. Tampak terlalu besar ya?

6. Ketimpangan ekonomi sulit tersembunyi dari kurva Lorenz. Awalnya saya pikir kurva Lorenz adalah prosedur cerdas untuk menampilkan distribusi kekayaan suatu populasi. Tapi kurva Lorenz lebih dari itu.

Pertama Lorenz meyusun kurva dimulai dari orang paling miskin. Ini wajar saja agar kurva terus naik.

Kedua, akibat dari yang pertama, maka gradien kurva selalu positif. Tentu saja dengan asumsi di dunia nyata tidak ada 0 atau negatif – meski pun bisa saja dengan definisi tertentu.

Ketiga, turunan dari gradien juga positif atau setidaknya 0. Turunan dari gradien bisa 0 ketika ada anggota populasi yang memiliki kekayaan sama persis. Gradien jadi positif konstan tetapi turunan dari gradien jadi 0. Tetapi hal semacam ini jarang terjadi – jarang ada dua orang memiliki kekayaan sama persis.

Secara umum kita bisa mengatakan bahwa turunan dari gradien juga positif.

Akibatnya lonjakan kekayaan makin besar untuk kelas orang kaya. Atau yang kaya makin kaya.

Untuk contoh kasus Timor G = 0,5 berpadanan dengan polinom pangkat n = 3. Maka gradiennya adalah 3 kali kelompok kelas kuadrat. Dan turunan dari gradien adalah 6 kali kelompok kelas.

Maksudnya untuk kelompok termiskin pertama maka lonjakan kekayaan mereka adalah, misalnya, 6 juta rupiah. Jika kelas pertama memiliki aset 1 juta rupiah maka kelas kedua memiliki kekayaan 6 juta rupiah lebih banyak..

Sedangkan untuk kelompok kelas ke 10 (atau terkaya) maka lonjakannya adalah tidak linear 6 juta juga. Jika orang terkaya tertentu punya aset a juta rupiah maka orang yang lebih kaya di sebelahnya punya aset 300 juta rupiah lebih banyak dari a juta rupiah itu.

Kasus Indonesia dengan G = 0,8 tentu lebih ekstrem.

Diestimasi dengan polinom pangkat n = 9 maka gradien = 9 kali kelompok kelas pangkat 8. Dan turunan dari gradien = 72 kali kelompok kelas pangkat 7.

Jika kelompok orang termiskin di Indonesia punya aset 1 juta rupiah maka kelompok miskin yang sedikit lebih kaya memiliki kekayaan,

= 1 juta x (2^9 – 1)

= 511 juta

= 0,5 milyar rupiah

Aset 0,5 milyar rupiah tentunya sudah tidak miskin lagi. Padahal ini baru kelompok kelas ke 2. Tampaknya asumsi kita terlalu tinggi di sini. Asumsi orang termiskin punya aset 1 juta rupiah adalah terlalu tinggi.

Jika kita turunkan kelompok termiskin di Indonesia menjadi 1 000 rupiah maka kelompok kedua memiliki aset 0,5 juta rupiah. Barangkali yang ini lebih masuk akal ya?

Tetapi lonjakan untuk kelompok orang terkaya di Indonesia tetap saja sangat tinggi. Yaitu,

= 1000 rupiah x (11^9 – 10^9)

Sekitar 1 trilyun rupiah.

Sulit dibayangkan. Tetapi ini semua kita mengikuti kaidah kurva Lorenz dan prinsip matematika. Serta menggunakan data resmi yang dipublish di media terbuka.

Saya sendiri mencoba mengkaji kurva Lorenz dari sisi integral polinom, busur lingkaran, poligon, dan deret Riemann memberikan hasil cukup konsisten. Grafik eksponen dan logaritmik juga menghasilkan analisis yang mirip.

Hanya saja bentuk polinom yang dilengkapi dengan deret Riemann memberikan analisis yang lebih tajam.

Analisis matematis ini hanya bisa dibantah dengan data empirik yang jujur. Tetapi data empirik tetap mengikuti kaidah kurva Lorenz maka akan tetap memberikan hasil yang mirip.

7. Kurva Lorenz dimulai dari O(0,0) di akhiri di A(1,1) memaksa konsisten. Meski kurva Lorenz yang berbeda dapat saja memberikan index G yang sama tetapi akan cenderung konsisten.

Jika kurva Lorenz terbentuk oleh dua garis lurus saja maka untuk satu nilai G yang unik dapat dihasilkan oleh tak terbatas banyaknya kurva Lorenz yang berbeda. Fakta ini mengecilkan kekuatan indeks G bila tanpa kurva Lorenz.

Tetapi index G tetap berguna karena konsisten dengan aturan kurva Lorenz.

Dan asumsi bahwa kurva Lorenz bisa dibentuk oleh dua garis lurus hampir tidak pernah terjadi di dunia praktis. Sulit terjadi suatu populasi terbelah hanya ada dua kelas yaitu kelas miskin dengan kekayaan seragam dan kelas kaya dengan kekayaan yang seragam pula.

Maka kurva Lorenz setidaknya perlu terbagi menjadi 5 kelas masing-masing 20% populasi.

Jika kelas awal yang dimulai dari O(0,0) punya gradien 0,5 misalnya maka G pasti kurang dari 0,5. Dan gradien kelas terakhir harus lebih dari 1 agar menyentuh A(1,1).

Dengan aturan kurva Lorenz di atas maka kita memang bisa menghasilkan kurva beragam tanpa batas. Tetapi secara umum akan memiliki karakteristik yang konsisten. Khususnya untuk kasus dunia nyata.

Bagaimana menurut Anda?

Mendikbud Vs NU dan Muhammadiyah

NU dan Muhammadiyah mundur dari program organisasi penggerak pendidikan kemendikbud. Dikabarkan, DPR akan memanggil kemendikbud terkait mundurnya NU dan Muhammadiyah ini. Pun beberapa politisi menyarankan jalan tengah.

Saya sendiri pernah ditawari teman untuk bergabung program organisasi penggerak pendidikan. Tapi saya menolaknya. Bukan karena saya tidak setuju dengan program penggerak pendidikan. Saya justru setuju dengan program penggerak yang bertujuan meningkatkan kualitas pendidikan, kualitas guru, dan lain-lain.

Saya menolak untuk gabung program penggerak karena saya sudah melakukan program penggerak pendidikan Indonesia sejak tahun 2000 – di waktu itu Mas Nadiem baru lulus SMA barangkali ya?

Saya melatih guru-guru dari seluruh Indonesia untuk meningkatkan kualitas pendidikan khususnya bidang matematika. Para guru merespon dengan baik. Tidak mudah meningkatkan kualitas pendidikan. Tapi dengan cara kreatif kita bisa melakukannya.

Tahun 2008 saya mulai, sebatas kemampuan saya tentunya, ikut serta meningkatkan kualitas pendidikan Indonesia dengan program penggerak melalui media online. Saya merintis program belajar mengajar online melalui web dan video youtube. Saat ini saya sudah membuat video pendidikan di youtube lebih dari 7000 judul video. Dan terus bertambah sampai hari ini.

Pengalaman saya yang baru 20 tahunan bergerak dalam program penggerak pendidikan saja seperti itu. Maka saya setuju dengan sikap Muhammadiyah dan NU yang sudah pengalaman puluhan tahun atau bahkan 100 tahun menggerakkan pendidikan Indonesia.

Apakah wajar memperlakukan NU dan Muhammadiyah, organisasi kebudayaan terbesar di Indonesia, setara dengan organisasi lain yang barangkali berumur baru 1 tahun?

Saya menduga mereka, NU dan Muhammadiyah, tidak menolak program penggerak pendidikan – bukankah NU dan Muhammadiyah justru menjalankan program penggerak pendidikan?

Barangkali mereka menolak sistem dan mekanisme yang tidak sesuai harapan. Saya juga bersikap sama.

Semoga kita bersama-sama dapat menggerakkan pendidikan Indonesia menjadi lebih berkualitas. Dengan ragam cara.

Bagaimana menurut Anda?

Kesenjangan Ekonomi RI – Ngeri GINI

Pandemi jelas saja kondisi ekonomi makin ngeri.

Tapi seberapa ngeri?

Ngeri GINI. Rasio GINI memberi kita banyak informasi. Dengan mengolah index Gini kita memperoleh banyak informasi ekonomi negeri ini.

10% orang terkaya di Indonesia menguasai aset 600 juta kali dari 10% orang termiskin di Indonesia.

Bukan 600 juta lebih banyak. Tapi 600 juta kali, lebih banyak, lebih kaya dari orang termiskin di Indonesia.

Seharusnya kita memperoleh data resmi dari BPS tentang kurva Lorenz. Baik kurva Lorenz pengeluaran penduduk Indonesia mau pun kurva kekayaan. Karena tidak ada kurva Lorenz resmi maka kita bisa melakukan analisis dari rasio GINI atau index Gini = G = 0,381 untuk pengeluaran di Indonesia. Sedangkan untuk kekayaan G = 0,83.

Untuk lebih mudahnya G = 0,83 kita bulatkan menjadi G = 0,8 saja. (Pembulatan ke bawah menunjukkan bahwa kita menganggap Indonesia lebih baik.)

1. Seperti kita tahu G = 0 menunjukkan bahwa kekayayan di Indonesia terbagi merata ke seluruh warga Indonesia. Benar-benar merata. Kekayaan penduduk sama persis. Jelas hal ini tidak terjadi di Indonesia. Pun tidak terjadi di belahan dunia mana saja.

2. Sedangkan G = 1 = 100% menunjukkan bahwa tidak merata sama sekali. Maksudnya hanya ada 1 orang mahakaya di Indonesia yang menguasai seluruh aset kekayaan 100%. Sedangkan orang lain – selain yang mahakaya itu – tidak memiliki kekayaan sama sekali. Jelas kondisi Indonesia tidak seperti ini. Kondisi negara lain di dunia juga tidak seperti ini.

3. Indonesia G = 0,8 menunjukkan kekayaan tidak merata. Orang terkaya di Indonesia memang superkaya. Sementara orang termiskin barangkali miskin sekali. Kita akan menganalisisnya di sini.

G = 0,8 kita bagi 2 menjadi H = 0,4

0.5 – 1/P = 0,4

1/P = 0,1 = 1/10

P = 10 = n + 1

maka

n = 9

(catatan: saya menemukan cara lebih mudah menghitung n berikut ini,

n = (1+0,8)/(1-0,8) = 1,8/0,2 = 9 )

Kita bisa mendekati kurva Lorenz Indonesia dengan fungsi x pangkat n = x pangkat 9.

Bisa kita hitung balik bahwa integral dari x pangkat 9 akan menghasil G = 0,8. Selanjutkan kita bisa dengan mudah membandingkan kelas-kelas kekayaan dengan pangkat n = 9 ini.

A. 10% orang terkaya Indonesia terhadap 10% orang termiskin.

Asumsikan 10% orang termiskin hanya memiliki kekayaan 1 juta rupiah tiap orangnya. Mungkin mereka tidak punya rumah dengan kekayaan 1 juta itu. Orang termiskin itu hanya punya baju di badan, beberapa baju di lemari, lemari itu sendiri, beberapa piring dan sendok, tikar, kursi meja, tempat tidur, dan beberapa aset sederhana: sandal, sepatu, tas dan lain-lain.

10% penduduk Indonesia setara 27 juta jiwa termiskin hanya punya aset 1 juta rupiah seperti di atas.

Berapa kekayaan 10% orang terkaya di Indonesia? Luar biasa!

1 juta x[ (10 pangkat 9) – (9 pangkat 9)]

= 1 juta x 600 juta

= 600 trilyun rupiah

adalah kekayan orang terkaya di Indonesia.

Ada 10% yang setara dengan 27 juta jiwa kaya raya di Indonesia. Terasa sangat timpang dengan kondisi ini? Kita barangkali perlu cek dengan data di lapangan.

B. 20% orang terkaya

Dengan asumsi yang sama, 20% orang termiskin di Indonesia hanya memiliki aset 1 juta rupiah. Ada 54 juta jiwa termiskin ini.

Maka 20% orang terkaya di Indonesia memiliki harta kekayaan,

= 1juta x [(5 pangkat 9) – (4 pangkat 9)]

= 1,5 trilyun rupiah (pembulatan)

Ada orang kaya Indonesia punya aset 1,5 trilyun rupiah sebanyak 54 juta orang.

C. 1% orang terkaya Indonesia

1% penduduk setara dengan 2,7 juta orang – masih banyak juga. Orang termiskin memiliki kekayaan 1 juta rupiah. Orang terkaya memiliki kekayaan,

= 1 juta x [(100 pangkat 9) – (99 pangkat 9)]

= 86 x 10 pangkat 21 rupiah

Tampaknya terlalu besar?

Maka kita harus memperkecil aset orang termiskin di Indonsia dari 1 juta menjadi lebih miskin lagi.

Bagaimana menurut Anda?

Grafik G = 0,8 untuk rasio Gini kekayaan Indonesia setara dengan f(x) = x^9

Grafik di bawah ini G = 0,38 untuk rasio Gini pendapatan Indonesia

Kesenjangan Ekonomi RI – Klasifikasi Rasio Gini

Akibat pandemi kesenjangan ekonomi di Indonesia makin menganga. Hal ini didasarkan pada rasio Gini Maret 2020 adalah 0,381 yang lebih besar dari September 2019 yaitu 0,380. Hanya beda sedikit. Tapi Maret 2020 ini lebih baik dari Maret 2019 yang bernilai 0,382.

Dari rasio Gini di atas kita belum bisa menyimpulkan kesenjangan ekonomi Indonesia. Kita perlu grafik dari kurva Lorenz. Sayangnya saya tidak menemukan kurva Lorenz dari kesenjangan ekonomi RI. Maka saya akan mengkajinya dengan pendekatan aljabar sederhana – melanjutkan pendekatan geometri pada tulisan saya sebelumnya.

Dan kajian saya menyimpulkan benar-benar terjadi kesenjangan ekonomi di Indonesia. Yang diukur dari rasio Gini pendapatan atau belanja. Lebih buruk lagi bila diukur dari rasio Gini kekayaan (wealth).

Untuk memudahkan perhitungan saya ambil rasio Gini = 0,380 = 38% yang masuk pada kategori buruk. Saya mengelompokkan rasio Gini menjadi:

0,5 – 1 : buruk sekali
0,33 – 0,5 : buruk
0,2 – 0,33 : sedang
0 – 0,2 : bagus

Klasifikasi di atas saya kelompokkan berdasar integral dari PDF yang masing-masing berupa polinom sederhana.

  1. Rasio Gini Indonesia = 0,38

Arti 0,38 bisa kita pahami jika kita tahu grafik kurva Lorenz. Tapi BPS, setahu saya, tidak menerbitkan kurva Lorenz. Barangkali tidak mudah membuatnya. Atau tidak ada untung membuatnya tapi justru ada resiko atau lainnya.

Rasio Gini = 0 adalah sempurna. Tidak ada kesenjangan. Ini terjadi jika PDF berupa y = x. Garis lurus.

Gini Indonesia = 0,38 bila dibagi 2 = 0,19 = 19/100

Integral dari 0 sampai 1 memudahkan kita. Batas bawah = 0 bisa kita abaikan karena selalu menghasilkan perkalian 0. Sedangkan batas atas 1 juga bisa kita abaikan karena perkalian dengan 1 pangkat berapa pun tidak mengubah koefisien. Maka kita cukup fokus kepada koefisien saja.

Integral dari x menghasilkan koefisien 1/2 dan integral PDF menghasilkan 1/p yang akan kita cari nilainya.

Dan hasil integral polinom kita tahu,

Sehingga,

adalah pangkat dari polinom PDF yang sedang kita cari.

Makna rasio Gini Indonesia

Asumsikan hanya ada 2 kelas ekonomi di Indonesia yaitu kelas kaya dan kelas miskin maka perbandingan kelas kaya dan kelas miskin adalah,

Setara dengan 4,67 = 5.

Maknanya adalah kelas kaya di Indonesia 5 kali lebih kaya dibanding dengan kelas miskin. Jika kelas miskin, misal belanja 1 juta per bulan maka kelas kaya belanja 5 juta per bulan. Cukup baik dan merata. (Untuk memudahkan tidak dikurangi dengan kelas di bawahnya).

2. Terkaya 20% terhadap termiskin

Membagi kelas hanya menjadi 2, kaya dan miskin, tidaklah wajar. Telalu sederhana. Umumnya kita perlu membagi menjadi 5 kelas sehingga masing-masing kelas interval 20%. Kita dapat membandingkan 20% kelas terkaya dengan 20% kelas termiskin. Untuk di Indonesia kita estimasi dengan,

Setara dengan 35,96 = 36 kemudian kita kurangi dengan akumulasi kelas sebelumnya maka menghasilkan kelipatan 14 kali.

Maknanya jika orang termiskin di Indonesia belanja 1 juta rupiah tiap bulan maka orang terkaya di Indonesia belanja 14 juta rupiah tiap bulannya. Mulai terasa kesenjangannya kah?

3. Terkaya 10% di Indonesia

Kita bisa melanjutkan dengan membagi kelas jadi 10 masing-masing 10%. Maka perbandingan terkaya dengan termiskin adalah,

Setara dengan 168 kita kurangi dengan kelas sebelumnya jadi = 35 lipat. Artinya bila orang miskin belanja 1 juta tiap bulan maka orang kaya belanja 35 juta tiap bulan tiap orangnya. Terasa tidak baguskan kesenjangan sebesar ini?

4. Dasar-dasar klasifikasi rasio Gini

Dengan cara analisis seperti di atas maka wajar saja kita mengelompokkan baik buruknya rasio Gini berdasar perbandingan kelas terkaya dengan kelas termiskin. Untuk lebih mudahnya kita akan anlisis 20% terkaya terhadap 20% termiskin.

Keterangan foto tidak tersedia.

0,5 – 1 : buruk sekali

Rasio Gini 0,5 diperoleh jika PDF berpangkat n = 3.

Maka perbandingan 20% terkaya dengan 20% termiskin adalah,

5^3 – 4^3 = 61,

tentu saja buruk sekali. Lebih terasa lagi untuk 10% terkaya adalah 271 kali dari termiskin.

0,33 – 0,5 : buruk

Rasio Gini = 0,33 = 1/3 kita peroleh dari PDF berpangkat n = 2.

Perbandingan 20% terkaya terhadap termiskin adalah,

5^2 – 4^2 = 9.

Sedangkan 10% terkaya adalah,

10^2 – 9^2 = 19, (lengkapnya 19 – 271)

tentu saja buruk.

0,2 – 0,33 : sedang

Rasio Gini = 0,2 kita peroleh dari PDF berpangkat n = 3/2.

Perbandingan 20% terkaya terhadap termiskin,

5^(3/2) – 4^(3/2) = 3

Sedangkan 10% terkaya adalah,

10^(3/2) – 9^(3/2) = 5, (lengkapnya 5 – 19 kali)

tidak terlalu buruk. Bisa kita katakan sedang.

0,2 – 0 : baik

Perbandingan 20% terkaya dengan termiskin barangkali 5 atau kurang. Tentu saja cukup bagus untuk kondisi seperti ini.

Bagaimana menurut Anda?


Kesenjangan Ekonomi Indonesia – Gini Rasio 0,381

Jelas ada kesenjangan kekayaan di Indonesia. Rasio Gini menunjukkan 0,381 besarnya ketimpangan itu di Maret 2020.

Seberapa besarkah itu?

Memang makin timpang dibanding September 2019 dengan Gini = 0,380. Tapi justru lebih tidak timpang dibanding Maret 2019, dengan rasio Gini = 0,382.

Makin besar Gini rasio maka menunjukkan makin timpang wilayah bersangkutan dalam hal pengeluaran atau lebih umum kesejahteraan.

Gini = 0 menunjukkan ketimpangan 0 atau tidak ada ketimpangan. Terjadi bila semua pendudukan memiliki kesejahteraan sama persis. Merata sempurna. Sepertinya tidak akan pernah terjadi ya?

Sementara Gini = 1 = 100% atau mendekati 100% adalah bila semua orang tidak punya kekayaan kecuali hanya 1 orang saja kaya raya berkuasa atas semua kekayaan. Hal ini juga sulit terjadi. Barangkali bisa terjadi bila di suatu wilayah ada 1 orang maharaja menguasai semua kekayaan. Sementara semua orang lain adalah hamba sahaya.

Maka nilai Gini rasio, secara praktis, lebih dari 0% dan kurang dari 100%.

Kembali ke Indonesia dengan Gini = 0,381 bermakna apa?

Tidak cukup dengan Gini rasio saja untuk mengukur kesenjangan masyarakat. Barangkali BPS perlu menerbitkan grafik Gini rasio seperti di atas.

Saya buat grafik diidealkan menjadi linear seperti di atas. Agar mudah menghitungnya. Panjang sisi segitiga adalah 1 = 100%.

Kondisi terburuk di Indonesia

Terjadi seperti grafik bagian kiri. Di mana 38% penduduk miskin kita tidak memiliki kekayaan sama sekali. Atau memiliki kekayaan yang sangat kecil. Miskin dengan esktrem miskin.

Sementara 62% penduduk yang lebih kaya menguasai seluruh 100% kekayaan Indonesia.

Dengan Gini rasio 0,380 kondisi semacam ini sangat buruk.

Kondisi terbaik di Indonesia

Grafik sebelah kanan menunjukkan kondisi yang lebih baik meski dengan Gini rasio = 0,380.

Dengan sedikit bantuan geometri dasar kita bisa menghitung luas segitiga kekayaan ekonomi.

PA = 50 + 19 = 69

69% penduduk Indonesia menguasai (15,50% diralat ya, 69 x 31 = 2139) 21,39% kekayaan ekonomi Indonesia.

Atau bisa dibalik, 21,39/69 = 31%

Yang berarti penduduk miskin kita hanya menguasai 31% kekayaan dari selayaknya 100% itu. Penduduk miskin ini sebanyak 69% penduduk kita.

Kondisi ini lebih baik dari pada tidak punya kekayaan sama sekali kan?

Sementara penduduk kaya yang jumlahnya 31% menguasai seluruh 69% dari total kekayaan Indonesia.

Kondisi nyata di Indonesia

Kondisi nyata di Indonesia bisa kita baca bila kita memperoleh grafik lengkap dari BPS. Sayangnya saya belum menemukan grafik yang dimaksud.

Bisa saja grafik itu tidak linear, tentu saja. Tapi kemungkinan besar kondisinya akan berkisar di antara kondisi terburuk dan kondisi terbaik di atas.

Barangkali ada yang punya grafik Gini dari BPS?

Simulasi Herd Immunity – Model Matematis

Herd immunity sangat menarik. Bayangkan kekebalan kelompok. Kita sebagai masyarakat menjadi kebal corona. Pandemi covid-19 jadi usai. Tambahan lagi, herd immunity bisa terjadi dengan sendirinya.

Mengapa tidak kita raih herd immunity?

Perlu ada yang dikorbankan. Kadang tidak murah. Korban nyawa. Maka saya buatkan simulasi matematis untuk estimasi berbagai macam skenario.

  1. Herd immunity normal

Kondisi normal seperti sekarang bila diteruskan bisa menuntun kita ke herd immunity dengan cara mudah.

Kondisi HI, herd immunity, tercapai sekitar September 2021. Pandemi selesai karena tidak ada yang bisa diserang corona. Masyarakat sudah imun.

Lihat pada kondisi puncak, kita lihat, ada kasus harian bertambah 2 juta orang. Apa kita mampu menanggung nya?

Total kasus bisa mencapai 150 juta orang. Dan 15 jutaan di antaranya meninggal, 15 juta yang lain sakit parah, sisanya akhirnya sembuh.

Besaran ini tergantung dengan Ro. Batas agar HI = 1 – 1/Ro.

2. Herd immunity diperkecil

Barangkali HI bisa diturunkan puncaknya dengan asumsi Ro yang lebih kecil. Misal Ro = 1,5 maka hanya perlu 1/3 populasi imun untuk mencapai HI.

HI terjadi antara Juni-Juli 2021, pandemi selesai. Puncaknya terjadi penambahan 1 juta kasus baru per hari. Lebih ringan dari skenario sebelumnya.

Total orang terjangkit sekitar 85 juta orang. Dan 8 juta di antaranya meninggal dunia. Tetap lebih ringan dari skenario 1.

3. Herd immunity lebih kecil lagi

Tentu saja HI bisa lebih ringan lagi bila R0 lebih kecil. Misal Ro = 1,1 maka hanya butuh sekitar 10% populasi saja yang harus imun.

HI tercapai bulan Mei 2021. Pandemi selesai ketika musim lebaran. Asyik…!

Total hanya ada 27 juta orang terjangkit. Barangkali kurang dari 3 juta meninggal dunia. Puncak penambahan kasus harian sekitar 400 ribu. Lebih rendah dari skenario yang sudah-sudah.

Sayangnya, saya menghitung Ro Indonesia Ro = 4,7. Maka perlu 80% populasi imun agar HI. Semoga Ro memang lebih kecil mendekati 1.

Bagaimana menurut Anda?

Simulasi Matematis Covid-19: Linearisasi

Cara paling mudah simulasi dan menghitung adalah dengan model linear – garis lurus.

Saya membuat model hasil linearisasi kasus corona di Indonesia. Bagaimana pun hakikat pandemi oleh virus adalah tidak linear. Kita dapat menjadikan linear dengan cara memilih selang waktu yang terkecil yang memungkinkan.

Grafik di atas adalah hasil simulasi model matematis linear untuk kasus corona di Indonesia. Bila kita lihat dalam rentang waktu 1 tahun, sampai Agustus 2021 maka tampak grafik tidak linear – tetapi eksponensial.

Kasus total meledak pada Agustus 2021 menjadi lebih dari 150 juta orang terinfeksi. Tentu saja mengerikan. Jumlah orang yang meninggal, asumsi 5%, maka sekitar 7,5 juta orang. Tetapi karena terlalu banyak orang sakit barangkali fasilitas kesehatan tidak akan memadai. Sehingga total meninggal bisa 10% atau lebih. Bisa 15 juta orang atau lebih.

Setelah Agustus 2021 maka terbentuk herd immunity.

R = 1,125 dengan cepat jatuh menuju di bawah 1 dan kasus baru menuju 0 di bulan September 2021.

Linearisasi

Model linear bisa kita lihat di sisi kiri. Bulan Juli – Agustus 2020. Dari grafik tampak datar saja. Mirip dengan fungsi linear.

Ketika kita simulasi R = 1,13 bulan Juli – Agustus 2020 grafik menunjukkan cukup linear.

Total kasus mencapai 120 ribu orang di 8 Agustus. Total kasus aktif mencapai 53 ribu orang. Kasus harian lebih dari 1500 orang. Barangkali sekitar 1855 orang tiap hari.

Tentu saja hal ini harus dicegah. Mumpung belum terlalu besar beban pandemi ini.

Kita bisa menurunkan R menjadi R = 1.

Masih cukup tinggi, total kasus mencapai 108 ribu orang di awal Agustus 2020. Tetapi kasus harian turun menuju 1000an orang.

Memang kita perlu menurunkan R ke bawah 1 misal R = 0,9.

Masih cukup tinggi total kasus mencapai 102 orang. Tetapi kasus total aktif turun menjadi 17 ribuan orang. Penambahan kasus baru harian turun menuju 600an.

Semoga skenario terbaik ini bisa terjadi. Bahkan semoga lebih baik lagi.

Cara membuat simulasi linear

  1. Hitung nilai R dengan GMR untuk beberapa hari terakhir.
  2. Gunakan nilai R di atas untuk memprediksi total kasus aktif berikutnya. a[h] = R*a[h-I].
  3. Buat rata-rata reproduksi harian r = R^(1/5)
  4. Buat faktor koreksi, pengali a[h] agar hasil prediksi mendekati data-data terakhir.
  5. Total kasus dihitung dengan c[h] = c[h-I] + b; di mana b proporsional terhadap a[h] dan pilih koefisien koreksi agar hasil mendekati data-data terakhir.

Selanjutkan tinggal membuat simulasi seperti contoh saya di atas. Simulasi dapat memilih beragam nilai R dan rentang waktu.

Bagaimana menurut Anda?

Solusi Covid-19: Model Matematis

Tampaknya mudah saja. Ternyata tidak semudah tampaknya.

Solusi untuk corona ada tiga saja. Pertama, perilaku manusia. Kedua, inovasi meningkatkan kesembuhan. Dan ketiga, menemukan vaksin.

Saya membuat model matematika untuk menyusun solusi covid-19. Sebagian besar sudah tuntas. Tetapi sebagian lebih besar masih perlu terus dikembangkan.

  1. Angka reproduksi virus R sudah bisa kita hitung dengan mudah. Sementara kita bisa mengandalkan laporan resmi dari gugus tugas. Sedangkan untuk memperoleh kasus aktual barangkali kita bisa melakukan beberapa koreksi yang diperlukan.

Pembuktian matematis angka R dan cara praktis menghitung sudah saya tuliskan di tulisan-tulisan saya sebelumnya. Silakan kunjungi beberapa di antaranya ada di pamanapiq.com .

2. Simulasi total kasus corona ke depan berdasar nilai R. Mudah saja kita dapat membuat simulasi setelah memperoleh nilai R. Lebih mudah lagi bila kita asumsikan nilai R ada pada rentang tertentu.

Misal untuk Jabar, berdasar data-data yang ada, nilai R kadang di bawah 1 dan di atas 1. Maka bisa kita simulasikan dan hasilnya jelas. Total kasus corona akan terus bertambah. Meski pun total kasus aktif kadang turun lalu naik lagi tanpa pernah berhenti.

Untuk keperluan simulasi kita memanfaatkan persamaan sederhana total kasus aktif.

a[h] = R*a[h-I]

Dari sini kita estimasi total kasus positif.

c[h] = c[h-I] + b

b = kasus baru; Kita estimasi proporsional terhadap a[h]. Jika R > 1 maka b cenderung besar.

3. Manajemen meredakan covid.

Bagian selanjutnya saya menyusun model untuk mengendalikan covid. Barangkali ini paling penting. Tujuan awal adalah menurunkan nilai R ke bawah 1 untuk kemudian R = 0 secara konsisten.

Ditemukannya vaksin yang terjangkau dapat menjadi solusi. Tapi masih harus menunggu waktu yang tidak tentu.

Alternatif yang lebih pasti adalah dengan menajemen perilaku dan inovasi meningkatkan angka kesembuhan.

Parameter perilaku P yang naik, gaya hidup bebas, akan menyebabkan R naik pula dan virus makin menyebar. Sementara kenaikan angka sembuh S akan membuat R makin turun.

Parameter P benar-benar hanya parameter. Sehingga arti nyata dari nilai P barangkali tidak pernah kita ketahui. Kita hanya bisa mengartikan kenaikan atau penurunan nilai P. Juga kita tidak bisa membandingkan nilai P dari sistem satu ke sistem lainnya. Beda sistem maka P juga beda makna.

Sedangkan nilai S juga bisa sekedar parameter seperti P. Tetapi S dapat juga berupa nilai hasil pengamatan yaitu banyaknya orang sembuh dibagi dengan banyaknya orang total aktif. Saya biasanya mengambil banyaknya orang sembuh harian.

Koreksi stokastik

Dari model yang dikembangkan kita bisa menghitung semua besaran ketika tersedia data yang diperlukan. Tetapi beda hal bila kita harus memprediksi kondisi masa depan.

Kita perlu memasukkan faktor koreksi stokastik agar memperoleh hasil yang lebih akurat. Dengan memasukkan parameter terbaru maka perlu kita cek dua besaran terpenting yaitu kasus baru dan perubahan kasus aktif (positif atau negatif).

Umumnya, jika R > 1 maka kita perlu mengalikan dengan faktor koreksi yang lebih besar dari 1 juga kepada kasus baru. Hal ini dapat kita pahami sebagai akibat dari proses stokastik. Misal, kasus covid-19 bahwa kasus baru tidak hanya disebabkan oleh kasus aktif pada h – I saja. Barangkali ada pengaruh kasus aktif pada h-1, h-2, dan lainnya.

Hal yang sama juga perlu kita mengalikan dengan faktor koreksi kepada perubahan total kasus aktif.

Setelah kita peroleh parameter-parameter yang diperlukan maka kita dapat melakukan simulasi dan prediksi ke masa depan.

Simulasi dan Prediksi

Kita banyak memanfaatkan parameter stokastik. Maka perubahan paramater disarankan untuk menggunakan perkalian.

Misal parameter P = 8%. Daripada menyatakan penambahan P menjadi P = 8% + 4% = 12% maka lebih baik perkalian,

P = 8% x 1,5 = 12%

Untuk pengurangan dapat kita ubah menjadi perkalian dengan bilangan kurang dari 1.

Dari pada

P = 8% – 4% = 4%

maka lebih baik,

P = 8% x 0,5 = 4%.

Perubahan berupa perkalian ini menjamin aman, kita terhindar dari bilangan negatif dan pembagian oleh 0.

Bagaimana menurut Anda?