Matematika Pasti Benar?

Benar, matematika pasti benar. Bahkan, di saat ini, matematika berpadu dengan sains dan teknologi sehingga makin hebat lagi. Kebenaran matematika ini memberi kemajuan besar kepada umat manusia. Kajian sosial politik, saat ini pun, juga harus menggunakan matematika, misalnya, data statistik. Begitulah pandangan umum. Kita akan mengkaji lebih dalam.

Matematika ada di mana-mana dan selalu benar. Apakah matematika sehebat itu?

Matematika selalu benar, sejauh, mereka tetap sebagai matematika. Mereka membahas esensi ideal sehingga selalu benar. Tetapi, bila matematika digunakan untuk mengkaji realitas nyata maka matematika bisa bernilai salah juga. Matematika adalah beragam.

1. Kajian Esensi Ideal
2. Matematika Tidak Konsisten
3. Keragaman Matematika
4. Tanda Tanya Ontologi
5. Filosofi Matematika Sakina

Kita perlu membedakan antara esensi dan realitas. Keduanya saling berhubungan erat, meski berbeda, bahkan sangat berbeda.

“2 jeruk + 3 jeruk = 5 jeruk”

Jeruk adalah realitas di dunia fisik yaitu buah jeruk. Sedangkan, angka 2 + 3 = 5, adalah esensi. Selama matematika fokus kepada esensi, 2 + 3 = 5, maka matematika selalu benar.

Begitu bergeser membahas realita, bisa berbeda. Misal, 2 jeruk + 3 jeruk = 4 jeruk, karena yang 1 jeruk hilang entah ke mana. Realitas bisa berbeda dengan esensi. Matematika bisa salah ketika membahas realitas, misalnya jeruk di atas.

Di bagian awal tulisan ini, kita akan menekankan bahwa kebenaran mutlak matematika itu hanya berlaku kepada esensi. Baik matematika untuk kehidupan sehari-hari, atau pun matematika tingkat tinggi, mereka memang fokus kepada esensi.

Di luar dugaan, pada awal abad 20, matematika terbukti tidak konsisten. Meskipun, matematika tetap fokus membahas esensi ideal, pada analisis tingkat tinggi, terbukti, matematika tidak konsisten. Sehingga, matematika tidak lagi berhak meng-klaim diri selalu benar secara konsisten.

Perkembangan lebih jauh, matematika itu beragam, tidak tunggal. Dan, keragaman matematika ini bisa saling berlawanan. Bila demikian, jenis matematika mana yang benar? Sikap apa yang seharusnya kita pilih? Umumnya, matematika standar, adalah matematika yang membahas angka-angka berdasar teori himpunan. Di masa ini, abad 21, ada matematika membahas “program” komputer. Tentu saja, mereka berbeda jauh. Meski, tetap ada beberapa titik temu.

Pertanyaan lebih serius adalah tentang ontologi matematika: apa sejatinya obyek yang dikaji oleh matematika? Obyek yang dikaji matematika, misal, adalah angka 2, 3, dan seterusnya. Apakah angka-angka seperti itu benar-benar ada di alam realitas? Atau, hanya rekaan imajinasi manusia belaka? Jawaban terhadap masalah ontologis ini, ternyata, juga beragam.

Pada bagian akhir, saya mengusulkan pendekatan filosofi sakina untuk menjawab masalah-masalah fundamental matematika. Pertama, filosofi sakina mengakui adanya keragaman matematika. Kedua, masing-masing “versi” matematika memiliki peran khusus. Ketiga, di antara banyak keragaman matematika itu diharapkan mereka saling belajar. Keempat, sebagai umat manusia, kita memilih versi matematika mana paling tepat “diterapkan” pada situasi tertentu. Atau, kita meramu kombinasi beragam versi matematika untuk mendapatkan hasil terbaik. Kelima, bagaimana pun, matematika selalu dinamis – tidak ada titik henti.

1. Kajian Esensi Ideal

Esensi berbeda dengan realitas, seperti kita sebut di atas. Matematika memiliki keunggulan mampu mengenali dan mengungkapkan esensi secara ideal: jelas dan tegas. Berbeda, misalnya, dengan bahasa yang juga mampu mengungkapkan esensi tetapi tidak sejelas atau setegas matematika. Di sisi lain, bahasa memiliki keunggulan dengan karakternya yang lebih kreatif imajinatif.

Mari kita ambil contoh realitas jeruk lagi. Esensi jeruk adalah jumlahnya, beratnya, bentuknya, warnanya, dan lain-lain. Dalam hal ini, kita fokus kepada jumlah jeruk, sebagai salah satu yang mewakili esensi jeruk. Sehingga, kita bisa membuat pernyataan matematika.

“2 jeruk + 3 jeruk = 5 jeruk”

Lebih tegas, kita ubah menjadi pernyataan esensi jumlah.

E: “2 + 3 = 5”

Pernyataan esensial E: “2 + 3 = 5” selau benar kapan pun dan di mana pun. Dalam realitas, pernyataan esensial matematika ini, kita gunakan untuk memahami: 2 jeruk + 3 jeruk = 5 jeruk; 2 sendok + 3 sendok = 5 sendok; 2 menit + 3 menit = 5 menit.

Russell (1872 – 1970) berpandangan bahwa jeruk, sendok, dan waktu menit adalah contoh penentu kebenaran pernyataan esensial di atas. Pernyataan esensial E menjadi benar karena realitas jeruk, sendok, dan waktu menunjukkan benar. Realitas-realitas lain pun bisa menunjukkan kebenaran esensial ini.

Cara pandang seperti di atas menempatkan realitas jeruk lebih tinggi dari pernyataan esensial matematika. Realitas empiris, pada akhirnya, yang menentukan apakah pernyataan matematika bernilai benar atau salah. Orang pada umumnya, tentu, boleh berpandangan seperti itu. Tetapi, para peneliti perlu lebih jauh untuk mengkaji. Pandangan Russell pun berubah seiring waktu.

Pada gilirannya, Russell memberi kekuatan lebih besar kepada pernyataan esensial matematika. Maksudnya, 2 jeruk + 3 jeruk = 5 jeruk bernilai pasti benar, karena secara esensial terbukti harus benar 2 + 3 = 5. Jika hasilnya, dalam realitas, adalah 4 jeruk maka pasti ada yang menghilangkan 1 jeruknya. Dengan demikian, posisi ditukar. Kebenaran esensial matematika menjadi lebih kuat dari realitas nyata jeruk.

Para ilmuwan menerapkan cara berpikir seperti itu, kebenaran esensial matematis adalah lebih kuat. Sains berhasil merumuskan teori gravitasi, relativitas, quantum, sampai penerapan teknologi tinggi, dan lain-lain.

Lalu, pertanyaan berikutnya, “Bagaimana kita bisa menentukan kebenaran pernyataan esensial 2 + 3 = 5?”

Kita tidak bisa lagi menjawabnya karena terbukti di alam realitas semacam jeruk. Kita, pada momen ini, sudah membaliknya bahwa realitas jeruk menjadi benar karena ada esensi matematika. Jadi, kebenaran esensi matematika ditentukan oleh apa?

Russell menjawabnya, “Kebenaran esensial ditentukan oleh logika.” Jawaban yang masuk akal. Secara logika, kita sadar bahwa 2 + 3 = 5, memang, benar. Masalahnya, logika Aristoteles sampai logika Boolean saat itu, tidak mencukupi sebagai landasan berpikir matematis aritmetika.

Logika Aristoteles “hanya” membahas silogisme untuk mengambil kesimpulan partikular masuk dalam universal tertentu. Tidak ada proses matematika di dalamnya.

Frege (1848 – 1925), lebih awal dari Russell, menyadari kesulitan itu. Frege menyusun logika relasional yang didasarkan pada aksioma aritmetika. Russell menyambut hangat logika relasional. Semua kebenaran pernyataan esensial, dan realitas, bisa dibuktikan dengan logika relasional.

Sampai di sini, terbukti, matematika benar secara mutlak. Benarkah seperti itu?

Pada tahun 1900 (atau 1901), Russell menemukan cacat pada logika relasional dari Frege. Logika relasional akan mengarah pada kontradiksi yang tidak bisa ditangani. Kontradiksi ini, pada akhirnya, kita kenal sebagai paradoks Russell.

Dengan paradoks itu, kebenaran matematika tidak mutlak lagi. Atau, kita perlu sistem baru agar bisa menangani paradoks. Bagian berikutnya akan membahas ini sebagai matematika yang tidak konsisten.

Mari kita ringkas diskusi kita sampai di sini. Secara umum, kebenaran matematika berlaku mutlak benar untuk pernyataan esensial. Sementara untuk pernyataan realitas, matematika masih perlu banyak pertimbangan lain agar bisa dinyatakan sebagai benar.

2. Matematika Tidak Konsisten

Russell adalah pendukung utama logika relasional Frege. Di saat yang sama, Russell adalah orang pertama yang menemukan cacat dari logika relasional. Sebuah cacat yang parah yaitu paradoks Russell. Bagaimana pun, Frege dan Russell adalah ilmuwan. Mereka mengakui cacat itu, untuk kemudian, mencari solusinya.

Sepuluh tahun kemudian atau lebih, Russell menemukan solusi dari paradoks itu. Bersama mentornya, Alfred North Whitehead, Russell menulis buku Principia Mathematica yang memuat solusi atas paradoksnya. Lebih dari itu, Russell memiliki proyek besar untuk menunjukkan bahwa segala kebenaran, pada analisis akhir, adalah kebenaran logika.

Paradoks Russell adalah paradoks yang terjadi karena mengacu diri sendiri. Paradoks ini mirip dengan paradoks “Bohong” tetapi dinyatakan secara formal dalam pernyataan matematika.

B: “Saya berbohong.”
P: “Pernyataan ini salah.”
R: “H adalah himpunan semua himpunan yang tidak beranggotakan dirinya.”

Semua pernyataan di atas – B, P, dan R – adalah paradoks. Jika B BENAR maka saya bohong, akibatnya, pernyataan saya B adalah SALAH. Sebaliknya, jika B SALAH maka saya tidak bohong, sehingga, pernyataan B BENAR. Paradoks.

Pernyataan R adalah paradoks Russell, dengan menanyakan, apakah H adalah anggota H?

Jika H adalah anggota H maka H harus TIDAK menjadi anggota H.
Jika H TIDAK beranggota H maka H harus menjadi anggota H. Paradoks.

Solusi paradoks Russell adalah dengan logika predikatif yaitu membatasi suatu pernyataan tidak boleh membahas dirinya sendiri. Contoh paradoks di atas adalah pernyataan yang membahas dirinya sendiri, disebut sebagai pernyataan impredikatif. Pernyataan impredikatif dilarang, dicegah, dalam logika predikatif. Hanya ada pernyataan predikatif. Dengan demikian tidak ada paradoks lagi. Dan, terbukti, logika predikatif aman dari paradoks.

Logika predikatif dari Russell berhasil menyelamatkan matematika, dan logika secara umum, dari paradoks. Benarkah solusi logika predikatif benar-benar tuntas? Tidak juga. Kita bisa menemukan bahwa matematika tidak konsisten.

Godel (1906 – 1978) tidak setuju dengan solusi logika predikatif. Pertama, larangan terhadap pernyataan impredikatif memotong banyak hal-hal penting dalam matematika. Pernyataan impredikatif, sudah terbukti, menjadi landasan kokoh untuk beragam teori matematika.

Kedua, logika predikatif mengantar logika matematika menjadi tidak konsisten atau tidak lengkap. Pembuktian bahwa sistem formal, termasuk logika predikatif, sebagai tidak konsisten atau tidak lengkap, kita kenal sebagai teorema Godel.

Keunggulan teorema Godel adalah, pertama, berlaku untuk semua sistem formal. Kedua, semua sistem formal bisa ditransformasikan ke kode bilangan besar hasil kali bilangan prima berpangkat. Ketiga, kode-kode (bilangan besar) ini berhasil membuktikan bahwa setiap sistem formal tidak konsisten atau tidak lengkap.

Dengan teorema Godel ini, proyek besar logika Russell runtuh berkeping-keping. Russell sendiri tidak bisa berbuat banyak melawan teorema Godel yang sudah terbukti. Wittgenstein (1889 – 1951), murid dari Russell, menolak teorema Godel. Wittgenstein mengkritik teorema Godel mengandung pernyataan impredikatif yang sudah diselesaikan oleh Russell. Tetapi kritik Wittgenstein ini salah sasaran. Teorema Godel tidak berhubungan langsung dengan predikatif-impredikatif. Teorema Godel terdiri dari kode-kode bilangan besar saja.

Setelah sistem logika, dan matematika, runtuh apa tanggung jawab Godel sebagai ahli matematika? Matematika terbukti tidak konsisten. Atau, matematika tidak bisa membuktikan bahwa dirinya konsisten.

Godel mengusulkan ZFC sebagai solusi. ZFC berhasil menyelesaikan paradoks Russell dan mengijinkan pernyataan impredikatif (dengan aksioma separasi). Dan saat ini, ZFC menjadi fondasi hampir seluruh matematika kontemporer. Tetapi, ZFC tidak mampu membuktikan diri sebagai konsisten. ZFC tidak berhasil mengatasi teorema Godel. Sederhananya, ZFC tidak konsisten. Begitu juga, matematika secara umum memang tidak konsisten.

Masalah matematika sebagai tidak konsisten terus menghantui para ahli matematika sampai akhir abad 20. Relevance Logic adalah salah satu solusi merangkul “ketidak-konsistenan” dari matematika dengan gagah berani. Inkonsistensi bukan harus dihindari. Tetapi harus kita hadapi.

Routley (1935 – 1996) menyusun fondasi untuk Relevance Logic (R#, Relevan Mathematics, Paraconsistent Mathematic). Routley adalah ahli matematika lahir di Selandia Baru dan menghabiskan masa tuanya sampai akhir hayat di Bali, Indonesia. Ide dasar dari R# adalah inkonsistensi tidak masalah sejauh tidak meledak. Dan persyaratan “relevance” memastikan inkonsistensi tidak meledak. Dengan demikian, inkonsistensi bisa kita terima. Tidak ada masalah dari teorema Godel lagi.

Resiko inkonsistensi adalah ECQ: ex contradictione Quodlibet – dari kontradiksi bisa apa saja. Jika kita boleh tidak konsisten maka kita bisa membuat pernyataan apa saja – trivial.

M: “Mayoritas rakyat ingin pemilu ditunda.”
T: “Mayoritas rakyat TIDAK ingin pemilu ditunda.”

M berkontradiksi dengan T. Jika kontradiksi boleh maka pejabat boleh bilang M. Kemudian, pejabat itu mengatakan maksud dia adalah T. Kontradiksi maka apa pun boleh. Segalanya menjadi tidak ada makna. ECQ. Trivial. Resiko ini yang diamankan oleh R#.

B: “JIKA Biden adalah presiden Indonesia MAKA 2 + 1 = 3.”

Pernyataan B di atas bernilai benar menurut logika klasik atau logika standar. Karena 2 + 1 = 3 adalah BENAR, maka, apakah Biden adalah presiden Indonesia atau bukan, kesimpulan akhir tetap benar. R# menolak B. Karena Biden tidak relevan terhadap pernyataan 2 + 1 = 3.

Untuk bisa menarik kesimpulan dengan valid, menurut R#, perlu ada hubungan relevan antara syarat dan konsekuensi.

R: “JIKA x = 2 MAKA x + 1 = 3.”

Pernyataan R adalah valid. Syarat x = 2 ada hubungan relevan dengan konsekuensi x + 1 = 3. ECQ tidak berlaku dalam R#. Matematika berhasil aman dengan merangkul inkonsistensi, terbentuk, Paraconsistent Mathematics.

Dengan demikian, kontradiksi teorema Godel tidak perlu “meledak” ke bagian matematika yang lain. Matematika secara umum tetap konsisten berdasar R# dan bagian yang tidak konsisten sudah diamankan.

Apakah matematika kembali berhasil meraih kebenaran mutlak bersama R#? Tidak juga. Karena apa yang dimaksud dengan “relevan” bukanlah sesuatu yang mudah. R# hanya memastikan syarat perlu tetapi tidak menjelaskan syarat cukup untuk menjadi relevan. Sehingga, untuk menentukan sesuatu sebagai relevan akan melibatkan suatu interpretasi. Dan, seperti kita tahu, interpretasi adalah beragam. Konsekuensinya, matematika menjadi beragam pula. Kita akan membahas keragaman matematika pada bagian selanjutnya.

Mari kita ringkas ulang pembahasan kita sejauh ini. Matematika dari waktu ke waktu, senantiasa menghadapi kontradiksi diri atau inkonsistensi. Meski esensi matematika bernilai benar secara mutlak, tetapi, inkonsistensi selalu menghantui.

Logika relasional Frege melahirkan paradoks Russell. Logika predikatif Russell melahirkan pradoks teorema Godel – yang tidak bisa diatasi oleh sistem formal matematika. Logika relevan Routley menerima inkonsistensi Godel. Sehingga, terbentuk Paraconsistent Mathematic.

Jadi, inkonsistensi matematika, pada akhirnya diterima dengan lapang dada, termasuk oleh ZFC. Masalah tidak selesai dengan itu. Menerima inkonsistensi menuntut matematika melakukan “interpretasi” yang beragam terhadap relevansi. Tiba saatnya, kita membahas keragaman matematika.

3. Keragaman Matematika

Kita akan melihat lebih banyak lagi keragaman matematika pada bagian ini. Pertama, teori model menunjukkan keragaman matematika sebagai dampak dari keragaman “interpretasi.” Kedua, matematika intuistik berbeda dengan matematika standar karena, matematika intuistik, meyakini obyek matematika sebagai konstruksi intuisi manusia.

Ketiga, teori kategori berbeda lagi karena obyek-obyek matematika hanya bisa memiliki satu kategori saja. Berbeda dengan matematika standar yang, misalnya obyek bilangan 3 adalah, anggota dari beragam himpunan: himpunan bilangan ganjil, bilangan bulat, bilangan prima, dan lain-lain.

Keempat, matematika univalent memandang obyek matematika bukanlah bilangan tetapi “program” komputer. Dengan demikian, univalent memiliki pendekatan yang berbeda karena menerapkan program komputer untuk beragam keperluan matematika.

Kelima, matematika post-data memandang obyek matematika adalah big data yang tersebar luas di media digital. Awalnya, post-data memanfaatkan statistik, fuzzy logic, computing power, dan AI untuk analisa. Seiring waktu, post-data menghasilkan disiplin matematika yang unik.

3.1 Teori Model

Teori model merupakan versi matematika tingkat tinggi nan canggih. Sehingga, tidak mudah membahas teori model. Di sini, kita akan membahas teori model dengan pendekatan yang sangat disederhanakan. Seperti kita sebut di atas, teori model menunjukkan bahwa matematika adalah beragam, bahkan, ketika berada dalam satu versi yang sama.

A: “2 + 3 = 5”
B: “6 – 2 = 4”
C: … … …

Misal, kita punya banyak pernyataan A, B, C, … sampai ratusan atau lebih. Pernyataan-pernyataan ini bisa dalam bentuk bahasa formal (matematika) atau bahasa natural (bahasa manusia). Dari pernyataan-pernyataan ini, tersirat logika yang mendasarinya. Kita bisa menambahkan aksioma bila diperlukan.

Dari kumpulan pernyataan-pernytaan itu kita bisa membuat teori T. Teori T ini pasti bernilai benar untuk semua pernyataan yang ada. Teori T ini bisa kita sebut sebagai teori sintak. Bagaimana pun, teori T ini tidak memadai secara matematika. Karena teori T selalu benar untuk “masalah” yang ada dalam pernyataan-pernyataan. Tetapi teori T tidak bisa menyelesaikan “masalah” yang berbeda dengan pernyataan-pernyataan yang ada.

“2 – 3 = …?”

Karena, misal, teori T tidak mampu menjawab masalah “2 – 3 = ?” maka kita perlu membuat model M yang mampu menjawabnya. Model M ini mampu menjawab semua pertanyaan yang bisa dijawab oleh T dengan tepat sama. Dan, M mampu menjawab beragam pertanyaan yang tidak mampu dijawab oleh T.

Misal, kita berhasil membuat dua model: M1 dan M2.

M1 menjawab “2 – 3 = -1”. Karena M1 menginterpretasikan T sebagai operasi penjumlahan dan pengurangan pada himpunan bilangan bulat.

M2 menjawab “2 – 3 = 11”. Karena M2 menginterpretasikan T sebagai operasi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan modulus 12 (seperti bilangan jam dinding). Jarum jam dinding yang menunjuk angka 2 kemudian diputar 3 langkah mundur maka akan menunjuk angka 11. Sehingga, solusi yang benar, “2 – 3 = 11.”

Model adalah interpretasi dari suatu teori. Kita bisa memperoleh banyak model yang sama-sama sah untuk satu teori yang sama. Dengan demikian, teori model menunjukkan bahwa matematika beragam, bahkan, ketika didasarkan pada teori yang sama.

3.2 Matematika Intuistik

Kita hanya akan fokus kepada salah satu perbedaan matematika intuistik dengan matematika standar, matematika klasik. Matematika intuistik selaras dengan filosofi Immanuel Kant (1720 – 1804). Aritmetika adalah intuisi manusia terhadap gerak waktu. Sedangkan, geometri adalah intuisi manusia terhadap ekstensi ruang.

Brouwer (1881 – 1966) mengembangkan fondasi matematika intuistik, yang kemudian, dikembangkan lebih jauh oleh muridnya Heyting. Kelak, kita mengenal Heyting Aritmetic sebagai padanan Peano Aritmetic – di matematika standar.

Matematika intuistik menolak LEM: Law of Excluded the Middle. Sedangkan, matematika standar menerima LEM. Perbedaan aturan logika dan epistemologi ini mengakibatkan perbedaan beragam teorema.

A OR (-A) pasti bernilai benar menurut matematika klasik. Karena tidak ada nilai kebenaran di tengah-tengah antara A dengan (-A). Matematika intuistik (MI) menolak kepastian itu. MI baru mengakui kebenarannya jika kita bisa mengkonstruksi A, atau, mengkonstruksi (-A).

Kita ambil contoh tentang warna lampu lalu lintas di simpang jalan.

Merah OR (tidak Merah).

Matematika klasik, matematika standar, yakin pasti benar. Jika berwarna merah maka benar. Jika tidak merah, misal hijau atau kuning, maka tetap benar.

MI menolak. Karena bisa saja lampu rusak sehingga tidak menyala sama sekali. Atau, bahkan, lampu lalu lintas sudah hilang dicuri orang. MI baru bisa menerima kebenarannya, ketika, kita bisa mengkonstruksi pengetahuan bahwa lampu tersebut nyala berwarna merah (atau bukan merah yakni hijau atau kuning).

MI tampak lebih hati-hati mengambil kesimpulan dibanding matematika standar. Debat tentang bukti bahwa Tuhan ada, seperti diyakini umat beragama, versus bahwa Tuhan tidak ada bagi ateis, barangkali bisa jadi contoh.

Ada OR (tidak Ada).

Sesuai logika klasik, sudah jelas pernyataan di atas benar. Kaum ateis menuntut umat beragama untuk membuktikan bahwa Tuhan ada.

“Tuhan ada. Buktinya alam semesta ini adalah ciptaan Tuhan.”
“Tidak. Itu bukan bukti,” sanggah sang ateis.

“Tuhan ada di sini, di hati ini.”
“Bukan. Itu bukan bukti,” sanggah ateis lagi.

Karena umat beragama tidak sanggup membuktikan adanya Tuhan maka, kesimpulannya terbukti, Tuhan tidak ada. Immanuel Kant menolak kesimpulan ini. MI juga menolak kesimpulan ini.

Tantangan bisa dibalik: kaum ateis disuruh membuktikan bahwa Tuhan tidak ada.

“Aku sudah keliling dunia, terbukti Tuhan tidak ada.”
“Bukan, itu bukan bukti,” jawab orang beragama.

“Astronot terbang ke luar angkasa, terbukti Tuhan tidak ada.”
“Bukan, itu bukan bukti,” sanggah orang beragama lagi.

Karena orang ateis tidak berhasil membuktikan bahwa Tuhan tidak ada maka, kesimpulannya terbukti, bahwa Tuhan ada. Immanuel Kant dan MI, sama-sama menolak kesimpulan itu.

Untuk bisa memastikan “Ada OR (tidak Ada)” bernilai benar kita perlu mengkonstruksi pengetahuan yang menunjukkan bahwa Tuhan ada, atau, mengkonstruksi pengetahuan yang menunjukkan bahwa Tuhan tidak ada. Tanpa kemampuan mengkonstruksi pengetahuan maka kita tidak bisa menyimpulkan apa pun.

Dengan logika yang berbeda seperti itu maka MI memang berbeda dengan matematika standar. Matematika memang beragam.

3.3 Teori Category

Eilenberg (1913 – 1998) dan Lane (1909 – 2005) menyusun teori kategori dengan mengambil “inspirasi” teori fungsi di matematika. Teori kategori mempelajari struktur abstrak matematika, dan lebih jauh, sistem dari struktur itu. Struktur kategori terdiri dari obyek dan mapping (morphism, functor, transformasi natural) yang menghubungkan obyek-obyek dengan aturan fungsi matematika.

Dengan demikian, teori kategori berbeda dengan matematika standar, matematika klasik. Matematika standar mempelajari angka-angka (dan simbol) dalam teori himpunan, sedangkan bagi kategori teori, angka-angka tersebut adalah sekedar obyek. Fokus teori kategori adalah struktur antara obyek-obyek itu yang terhubung melalui mapping. Obyeknya sendiri bisa angka atau lainnya. Misal, obyek kategori bisa saja adalah kategori itu sendiri, terbentuk kategori dari kategori.

Banyak inovasi menarik berkat logika teori kategori. Saat ini, logika kategori menjadi trend sebagai kajian tingkat tinggi paling diminati. (Dalam tulisan ini, saya sering menggunakan istilah functor karena lebih mirip dengan fungsi. Functor bisa saling menggantikan dengan morphisme atau mapping)

Mari kita coba dengan suatu contoh agar lebih jelas.

Apakah karir Anda akan jadi menteri, presiden, atau pengusaha? Teori categori menunjukkan struktur yang tepat untuk mendukung karir Anda. Mari kita coba dengan contoh.

Tempat Lahir = {Kudus, Lamongan, Magelang}
Universitas = {UA, UB, UC}
Karir = {Menteri, Presiden, Dewan, Bisnis}

Kita memiliki obyek-obyek dari kelas Tempat Lahir, Universitas, dan Karir. Kita bisa menambahkan kelas dan obyek lebih banyak lagi bila diperlukan. Dari obyek-obyek ini, kita bisa membuat relasi functor yang memenuhi sifat identitas, komposisi, dan asosiasi.

Kudus ==> UA ==> Dewan
Lamongan ==> UA ==> Dewan
Magelang ==> UC ==> Presiden

Obyek-obyek dan functor (dilambangkan panah) membentuk categori. Dari struktur categori di atas, sebagai contoh, kita bisa membaca: orang yang lahir di Kudus maka akan berkarir sebagai Dewan. Lebih dari itu, orang tersebut pasti kuliah di UA (Universitas Airlangga).

Demikian juga, orang yang lahir di Lamongan akan berkarir sebagai Dewan. Sedangkan, orang lahir di Magelang akan berkarir sebagai Presiden. Tentunya, dia kuliah di UC.

Struktur categori ini membangun logika kategori yang begitu kuat. Dengan struktur kategori, kita bisa membaca beragam cabang matematika yang obyeknya berbeda-beda membentuk struktur yang sama. Sehingga, cabang-cabang matematika itu membentuk logika kategori yang sama.

Dari beragam struktur kategori yang berbeda, kita bisa melihat kemiripan-kemiripan dan batas-batasnya. Dengan demikian, kita bisa membuat “peta” lengkap dari matematika yang mencerminkan sistem logika masing-masing.

Dalam contoh praktis, kita bisa memisalkan struktur politik di Indonesia ekivalen dengan struktur politik Malaysia. Sehingga, logika politik yang terjadi di Indonesia ekivalen dengan Malaysia. Meskipun obyek politiknya berbeda, orang-orang dan partainya berbeda, tetapi logika politik mereka sama saja, ekivalen. Dengan demikian, orang Indonesia bisa belajar dari orang Malaysia dan sebaliknya. Jika, misalnya, Brunei memiliki struktur politik yang beda maka kita tidak bisa membandingkan dengan Indonesia secara langsung.

Saat ini, teori kategori menjadi bidang kajian yang sangat aktif. Sehingga, kita berharap akan ada inovasi-inovasi keren dari logika kategori. Dua contoh paling menarik adalah teori topos dan teori type sebagai fondasi univalent.

Topos G adalah kategori dari kategori yang bersifat geometris. Di dalam topos G ini, berlaku aturan-aturan tertentu berdasar struktur geometrisnya. Kita bisa menyusun struktur logika formal L yang berlaku dalam G. Logika L ini bersifat intern dalam G. Logika L adalah formalisasi dari geometri G.

L <==> G

Logika L ini berbeda dengan logika matematika klasik. Karena, logika L disusun setelah terbentuk topos G. Logika L adalah interpretasi dari G. Kita, sebagai matematikawan, yang menyusun logika L berdasar topos G. Sedangkan logika matematika klasik sudah ada sejak awal bahkan sebelum teori matematika klasik dibangun. Logika klasik tidak melibatkan interpretasi dalam penyusunannya. Sementara, logika L dalam G melibatkan interpretasi.

Dengan demikan, teori kategori menambah banyak keragaman matematika yang berbeda dengan matematika standar. Berikutnya, kita akan membahas fondasi univalent.

3.4 Fondasi Univalent

Kalkulator bisa membantu kita menghitung cepat tentang angka-angka. Program komputer bisa membantu kita menyelesaikan persamaan aljabar. Tetapi, komputer tidak bisa membuktikan suatu teorema. Komputer juga tidak bisa menurunkan suatu teorema baru. Fondasi univalent memungkinkan komputer mampu membuktikan suatu teorema. Tentu saja, teorema matematika tingkat tinggi.

Lebih dari itu, fondasi univalent membantu para peneliti untuk menyusun bukti suatu teorema dengan lebih mudah. Bisa dibayangkan betapa beratnya, pembuktian suatu teorema matematika yang memerlukan waktu berbulan-bulan, ternyata ada kesalahan. Dengan fondasi univalent yang berupa program komputer, kita bisa menugaskan komputer untuk membuktikan kebenaran teorema matematika dimaksud.

Pada bagian ini, kita hanya akan menegaskan perbedaan fondasi univalent dengan matematika standar. Sehingga, menambah bukti bahwa matematika memang beragam.

Pertama, fondasi univalent mengandalkan komputer untuk menjalankan tugas-tugas pembuktian teorema. Sementara, matematika klasik mengandalkan kemampuan manusia.

Kedua, fondasi univalent mendasarkan pada teori type. Sementara, matematika klasik pada teori himpunan.

Ketiga, fondasi univalent hanya memerlukan “aturan inferensi” untuk mengembangkan definisi dan logika. Sedangkan, matematika klasik memerlukan “aturan inferensi” dan aksioma.

Keempat, fondasi univalent menolak LEM (law of excluded the middle) sebagaimana matematika intuistik. Sementara, matematika klasik menerapkan LEM. Meski demikian, fondasi univalent bisa membuktikan bahwa LEM berlaku dalam sistem tertentu.

Kelima, fondasi univalent memandang “2 + 3” adalah berbeda dengan “5” meskipun bisa membuktikan bahwa mereka adalah setara atau bernilai sama. Sementara, matematika klasik menganggap mereka tautologi. Yaitu “2 + 3” sama artinya dengan “5”.

Kiranya, dari uraian di atas, bisa kita simpulkan bahwa fondasi univalent memang berbeda dengan matematika klasik. Kita makin yakin bahwa matematika adalah beragam.

3.5 Teori Postdata

4. Tanda Tanya Ontologi

Hampir semua pemikir setuju bahwa obyek matematika adalah obyek abstrak (abstrakta). Secara ontologis, kita boleh bertanya, “Apa sejatinya abstrakta itu?”

Realisme menjawab abstrakta itu obyek yang ada secara mandiri dari pikiran manusia. Realisme ini sering kita kenal sebagai Platonis. Obyek matematika adalah form-form ideal dunia platonis.

Anti-realisme menjawab bahwa abstrakta itu tidak ada. Obyek matematika itu tidak ada, tetapi, kita menganggapnya sebagai ada agar lebih mudah untuk membahasnya.

Konstruktivisme memandang abstrakta adalah hasil dari konstruksi intuisi manusia. Obyek matematika itu ada sebagai hasil ciptaan intuisi manusia.

Super-realisme memandang abstrakta adalah justru yang paling nyata. Segala realitas yang ada adalah manifestasi dari obyek matematika.

5. Filosofi Matematika Sakina

Pada bagian akhir ini, saya mengusulkan pendekatan filosofi sakina untuk menjawab masalah-masalah fundamental matematika. Pertama, filosofi sakina mengakui adanya keragaman matematika. Kedua, masing-masing “versi” matematika memiliki peran khusus. Ketiga, di antara banyak keragaman matematika itu diharapkan mereka saling belajar. Keempat, sebagai umat manusia, kita memilih versi matematika mana paling tepat “diterapkan” pada situasi tertentu. Atau, kita meramu kombinasi beragam versi matematika untuk mendapatkan hasil terbaik. Kelima, bagaimana pun, matematika selalu dinamis – tidak ada titik henti.

Kita tidak bisa menghindar dengan mengatakan bahwa pernyataan matematika adalah pernyataan esensial ideal. Sehingga, kita berharap bisa mengatakan bahwa matematika terpisah dari realitas. Tidak bisa seperti itu. Meski pun, matematika berfokus kepada esensi, manusia berhadapan langsung dengan realitas. Karena itu, Filosofi Sakina menyikapi matematika dengan mempertimbangkan dinamika harmonis antara esensi dan realitas.

Mengakui Peran Keragaman

Pertama, filosofi sakina mengakui adanya keragaman matematika. Kedua, masing-masing “versi” matematika memiliki peran khusus.

Tidak ada cara meyakinkan untuk memastikan matematika versi mana paling baik di antara versi-versi yang ada. Matematika standar, realisme-platonis, paling bagus dalam mengembangkan pembuktian yang kokoh berdasar logikanya. Sementara, matematika intuitif, paling bagus untuk edukasi matematika dan pemahaman yang jelas terhadap matematika. Beda lagi, matematika Univalent paling bagus dengan menerapkan dan bantuan teknologi komputer terutama di masa kini dan masa depan.

Filosofi Sakina menyarankan kita agar mengakui keragaman dan peran khusus dari masing-masing versi matematika.

Saling Belajar

Ketiga, di antara banyak keragaman matematika itu diharapkan mereka saling belajar.

Matematika standar, barangkali, perlu belajar memanfaat media digital dari matematika Univalent. Matematika intuitif, barangkali, bisa belajar lebih “berani” mengambil resiko dengan mempertimbangkan LEM (Law of Excluded the Middle) dari matematika standar. Matematika Univalent bisa belajar dari matematika intuitif untuk meng-konstruksi lebih banyak obyek matematika.

Masing-masing versi matematika belajar dari versi matematika yang berbeda. Atau, bisa juga dengan sengaja memberikan ide ke versi lain untuk lebih berkembang.

Harmonis: Teoris-Praktis

Keempat, sebagai umat manusia, kita memilih versi matematika mana paling tepat “diterapkan” pada situasi tertentu. Atau, kita meramu kombinasi beragam versi matematika untuk mendapatkan hasil terbaik.

Ketika kita berhadapan dengan problem matematis yang berhubungan dengan komputer, barangkali, paling tepat kita memilih matematika Univalent. Ketika kita berhadapan dengan pembuktian problem yang kritis, barangkali, paling tepat kita memakai matematika intuitif. Sedangkan untuk menghadapi matematika abstrak yang rumit, barangkali, matematika standar adalah pilihan paling tepat.

Dalam kondisi khusus, barangkali, kita mempertimbangkan menerapkan berbagai macam versi matematika secara serentak, harmonis. Apalagi bila mempertimbangkan situasi praktis maka kita perlu memilih versi yang paling tepat guna.

Selalu Dinamis

Kelima, bagaimana pun, matematika selalu dinamis – tidak ada titik henti.

Teorema Godel menunjukkan dengan jelas bahwa setiap sistem formal akan berhadapan dengan kontradiksi. Maka diperlukan aksioma baru, untuk kemudian, berhadapan dengan kontradiksi lagi, dan seterusnya. Bahkan, ketika, Paraconsistent merangkul kontradiksi dengan baik, kita dihadapkan dengan interpretasi. Setiap saat, kita perlu memperbarui interpretasi. Dinamis tiada henti.

Di manakah batas intuisi manusia? Tidak ada batas. Maka matematika intuitif bisa terus bergerak dinamis. Berapakah batas kapasitas teknologi? Tidak tahu. Tidak ada tanda-tanda batas. Maka matematika Univalent bisa terus melaju. Demikian juga, setiap versi matematika selalu dinamis menghadapi tantangan esensi dan realitas semesta.

Filosofi Sakina menyadarkan kita. Jika matematika saja beragam dan dinamis maka bagaimana realitas kehidupan manusia? Realitas merupakan komposisi realitas materi yang mempesona, realitas mental yang selalu bergelora, realitas cinta yang selalu ada, dan masih lebih banyak lagi realitas lainnya. Manusia perlu menghormati keragaman, untuk kemudian, tumbuh bersama dinamis dan harmonis.

Diterbitkan oleh Paman APiQ

Lahir di Tulungagung. Hobi: baca filsafat, berlatih silat, nonton srimulat. Karena Srimulat jarang pentas, diganti dengan baca. Karena berlatih silat berbahaya, diganti badminton. Karena baca filsafat tidak ada masalah, ya lanjut saja. Menyelesaikan pendidikan tinggi di ITB (Institut Teknologi Bandung). Kini bersama keluarga tinggal di Bandung.

Ikuti Percakapan

2 Komentar

Tinggalkan komentar

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: