Continuum Hypothesis (CH): Mengapa Bisa Independen

CH menjadi enigma sejak awal dirumuskan oleh Cantor sekitar seabad yang lalu. Cantor berharap CH bernilai benar atau konsisten terhadap sistem matematika. Godel berhasil membuktikan CH konsisten terhadap ZFC (matematika paling umum) pada 1940an. Cohen berhasil membuktikan negasi CH juga konsisten terhadap ZFC. Matematika, yaitu ZFC, tidak bisa memutuskan apakah CH benar atau negasi CH. Kesimpulannya, CH independen terhadap ZFC. Mengapa bisa independen seperti itu? Tulisan ini menjawabnya dengan mengembangkan general barrier theorem, dari Gillian Russell, menjadi neo barriers theorem.

1. Cantor-Godel-Cohen
2. Teorema Easton
3. General Barrier Theorem
4. Analisis Independensi
5. Diskusi

Fakta matematika bahwa CH independen terhadap ZFC sudah jelas berdasar Godel dan Cohen. Sehingga tidak ada masalah dengan independensi itu. Tulisan ini mengungkap ada apa di balik teori matematika sehingga menghasilkan independensi itu.

1. Cantor-Godel-Cohen

Cantor (1845 – 1918) adalah bapak teori himpunan modern. Ia mengenalkan problem CH pada akhir abad 19 yang merupakan konsekuensi dari surga tak hingga dari matematika.

SEP mengungkapkan awal formula CH sebagai: “Cantor immediately tried to determine whether there were any infinite sets of real numbers that were of intermediate size, that is, whether there was an infinite set of real numbers that could not be put into one-to-one correspondence with the natural numbers and could not be put into one-to-one correspondence with the real numbers. The continuum hypothesis (under one formulation) is simply the statement that there is no such set of real numbers. It was through his attempt to prove this hypothesis that led Cantor do develop set theory into a sophisticated branch of mathematics.”

Dari CH kita menghadapi 3 problem yang bisa bercampur sekaligus.

(a) 2^N = N1;

Power set bilangan asli (2 pangkat kardinalitas bilangan asli N) adalah sama dengan kardinalitas bilangan tak hingga berikutnya.

(b) 2^N = |R|;

Power set bilangan asli adalah sama dengan kardinalitas bilangan real |R|.

(c) Makna N dan R secara ontologis.

Kajian CH pada umumnya hanya fokus problem (a) yaitu 2^N = N1 bila CH benar; atau bukan N1 bila CH salah yaitu bisa N2 atau lebih tinggi lagi. Problem (b) atau (c) sering dianggap ikut selesai bila problem (a) ditangani dengan baik. Asumsi seperti ini perlu dikaji ulang dan justru menghasilkan lebih banyak gagasan baru.

Godel berhasil menunjukkan bahwa CH (continuum hypothesis) benar pada era 1930an sampai 1940an. Yaitu CH tidak tak-konsisten dengan ZFC; atau CH konsisten dengan ZFC; atau CH benar dalam ZFC. Di mana ZFC adalah sistem formal aksiomatik yang diterima luas untuk matematika. Dalam bahasa sehari-hari: CH adalah benar berdasar matematika.

Godel menunjukkan CH benar dengan cara membangun model L secara bertahap dari paling kecil sampai paling besar. Pengembangan L dilakukan secara hati-hati hanya menambahkan elemen yang dibutuhkan; tidak menambahkan sesuatu sembarangan terutama bila tidak dibutuhkan. Cara bertahap ini membuktikan 2^N tepat sama dengan N1. Tetapi Godel tidak membahas kardinalitas real |R| yaitu problem (b) secara memadai; demikian juga dengan makna N atau pun R secara ontologis.

Cohen menunjukkan kebalikan Godel pada tahun 1960-an dengan teknik forcing. Cohen menunjukkan bahwa negasi CH tidak tak-konsisten dengan ZFC; atau negasi CH konsisten dengan ZFC; atau CH salah secara matematika. Atau 2^N tidak = N1; tetapi bisa N2 atau lebih tinggi lagi.

Cohen sengaja membangun model ekstensi M[G] yang berbeda cara dengan Godel membangun L. Cohen membangun M[G] dengan menambahkan real baru, dikenal sebagai real Cohen c, kepada model awal menggunakan forcing. Akibatnya, di bawah 2^N sudah terdapat sedikit banyak bilangan tak-hingga. Jadinya ia tidak lagi tak-hingga pertama N1 tetapi bisa saja sudah N2 atau lebih tinggi lagi.

Rangkaian Cantor-Godel-Cohen di atas memastikan bahwa CH adalah independen terhadap ZFC (matematika pada umumnya). Kita bisa mengembangkan matematika yang CH benar sesuai Godel dan harapan Cantor; tetapi kita juga bisa mengembangkan matematika yang CH salah sesuai Cohen. Mengapa bisa seperti itu?

2. Teorema Easton

Easton melanjutkan kekuatan forcing Cohen lebih dari sekadar dekat N1. Dengan teorema Easton kita bisa membuka posibilitas mengarahkan 2^N menghasilkan N2, N17, N100 atau lainnya. Sehingga hasil N1 adalah kasus khusus dari lebih banyak alternatif lainnya. Teorema ini lebih meyakinkan bahwa CH memang independen terhadap matematika ZFC. Mengapa bisa independen seperti itu?

3. General Barrier Theorem

Gillian Russell mengembangkan teorema penghalang umum atau general barrier theorem (GBT) sampai awal abad 21 ini.

Model M tidak entail (tidak memastikan) model N karena ada penghalang atau barrier. Russell menunjukkan ada lima macam barrier antara: deskriptif-normatif, partikular-universal, kontingen-niscaya, masa lalu – masa depan, dan umum-indeks.

Kita bisa memperdalam GBT menjadi master barrier theorem (MBT) dan berkonsekuensi meluas menjadi neo-barriers theorem (NBT). Secara ontologis, MBT menyatakan bahwa sistem formal S tidak entail, tidak memastikan, eksistensi realitas E; atau S =>/ E.

Perluasan menghasilkan posibilitas penghalang-penghalang baru yang lebih beragam. Sistem formal awal S tidak entail sistem formal baru S1; atau S =>/ S1. Karena karakter sistem formal adalah membatasi, diferensiasi, dan framing. Sementara itu eksistensi realitas awal tidak entail eksistensi realitas baru; atau E =>/ E1. Karena karakter dari eksistensi realitas adalah membuka posibilitas-posibilitas baru secara luas.

Dari master barrier theorem dan neo-barriers theorem kita akan menjawab pertanyaan utama: mengapa CH bisa independen?

Pertanyaan di atas berbeda dengan pertanyaan: apa bukti CH independen? Pertanyaan terakhir sudah dijawab oleh Godel dan Cohen serta para ilmuwan berikutnya. Sedangkan pertanyaan “mengapa” menjadi fokus kajian kita.

4. Analisis Independensi

CH bisa independen karena MBT dan NBT; karena master barrier theorem dan neo-barriers theorem.

Dalam formula NBT,

S =>/ S1

Sistem formal awal tidak entail sistem formal baru. ZFC adalah S dan CH (atau ZFC + CH) adalah S1. Sehingga,

ZFC =>/ CH

yaitu ZFC tidak entail CH; konsekuensinya ZFC bisa membuat pernyataan CH konsisten; atau bisa juga ZFC membuat pernyataan negasi CH yang konsisten.

Pernyataan di atas menggeser problem independensi CH menjadi problem barrier. Pergeseran ini membuka cakrawala analisis lebih luas untuk menjawab pertanyaan “mengapa”.

Hubungan N dengan R

Mengapa CH bisa independen? Karena ada barrier antara N ke R.

Bilangan real R bisa dianalisis, didekati, melalui N (termasuk perluasan Q) misal melalui Dedekind lengkap, Cauchy, atau yang isomorfis dengan mereka. Setiap analisis menerima galat (error) yang kecil; lebih kecil dari harapan. Analisis ini adalah sah.

Tetapi arah sebaliknya tidak sah: konstruksi bilangan R dari bilangan N tidak pernah tuntas karena ada barrier. Dedekind lengkap itu tidak pernah benar-benar lengkap; kecuali ditambahkan “aksioma kelengkapan”. Seperti kita tahu sebuah aksioma “hanya” diasumsikan kemudian diterima; tentu tersedia argumen untuk itu. Jadi R tidak pernah dicapai oleh N secara ontologis mau pun epistemologis. Konsekuensinya, ZFC =>/ CH; dengan kata lain, CH independen terhadap ZFC.

Analisis barrier ini merupakan respon problem (b) dari Cantor: apakah kardinalitas 2^N = kardinalitas |R|? Tidak tepat sama; mereka hanya pendekatan; atau diasumsikan berdasar aksioma sebagai sama. Celah barrier ini, yang ditambal dengan aksioma, membuka posibilitas independensi yang digali oleh Godel mau pun Cohen. Meski mereka bisa saja tanpa menyadari adanya barrier ini.

Ringkasnya: barrier relasi antara N dan R adalah relasi asimetris; R bisa dianalisis melalui N secara sah; tetapi R tidak pernah bisa tuntas dikonstruksi melalui N.

Ontologi N dan R

Apa makna bilangan asli N dan bilangan real R secara ontologis? Kita membahas problem (c) dari Cantor kali ini.

Bilangan asli adalah asli untuk membilang yaitu 1 apel, 2 duku, 3 ceri, dan seterusnya. Langkah selanjutnya, bilangan asli ini bisa dibuat sebagai sistem formal yang terbebas dari materi misal melalui himpunan Von Neuman.

Bilangan real adalah bilangan yang nyata-nyata ada bukan imajiner; termasuk pi yang merupakan keliling lingkaran dengan diameter 1; pi adalah satuan panjang keliling lingkaran yang utuh; bukan pecahan-pecahan yang digabungkan. Meja persegi yang panjang sisi 1 meter memiliki diagonal akar 2 meter yang irasional tetapi tetap real. Diameter akar 2 itu adalah satuan panjang diagonal secara utuh; bukan pecahan-pecahan yang kemudian digabungkan.

Jelas ada barrier antara N dan R karena mereka memang berbeda secara ontologis; tetapi ada jembatan Q berupa bilangan rasional. Q adalah hasil operasi perbandingan dari N; dan barisan Q menghasilkan R. Diharapkan N terhubung ke R tanpa barrier melalui jembatan Q. Secara ontologis, justru ada 2 barrier yaitu antara N-Q dan antara Q-R.

Dalam N, kita memiliki bilangan positif terkecil yaitu 1; dalam Q, tidak ada bilangan positif terkecil. Dalam Q, error Dedekind lengkap atau kelas Cauchy hanya menuju 0 ketika limit menuju tak hingga; dalam R, error itu memang 0.

Sehingga, dengan beragam barrier maka N =>/ R; bilangan asli N tidak entail bilangan real R secara ontologis. Dengan kata lain, melalui eksploitasi barrier, bilangan asli N bisa membuat pernyataan secara benar tentang R; tetapi bisa juga negasi itu. Konsekuensinya, CH memang independen terhadap ZFC; yaitu, pernyataan tentang R bisa benar atau justru negasinya.

5. Diskusi

Bukti independen CH terhadap ZFC sudah diberikan oleh Godel dan Cohen. Mengapa bisa independen? Kajian kita menunjukkan independen karena ada barrier antara ZFC ke CH. Barrier pertama adalah terdapat gap antara N dan R ketika konstruksi. Barrier kedua ada gap antara makna ontologis N dan R; ketika dibuat penutup gap berupa Q justru bertambah banyak gap baru.

Penemuan sifat independen CH dan beragam barrier ini bukanlah titik henti kajian melainkan justru undangan untuk mengkaji lebih jauh lagi. Pada situasi mana CH konsisten dan pada situasi lain mana negasi CH konsisten.

5.1 Pilihan Independen

Matematika adalah kajian sistem formal obyektif paling bersih. Asumsi umum: kita hanya mempelajari matematika apa adanya. Tetapi independensi CH justru memaksa kita untuk memilih CH atau negasi CH. Anda dipaksa untuk memilih matematika yang mana?

5.2 Konsekuensi Pilihan

Anda memilih salah satu jenis matematika. Apa konsekuensinya? Andai Anda tidak memilih apa pun maka apa konsekuensinya? Belajar matematika yang formal obyektif itu tetap memiliki konsekuensi etika. Karenanya kita tetap perlu mendengarkan suara hati ketika belajar matematika.

5.3 Ruang Henti Kajian

Pada posisi mana kita harus berhenti mengkaji matematika dan berpindah ke kajian lain? Ataukah posisi kita saat ini menuntut kita harus mengkaji matematika lebih mendalam lagi? Untuk menjawab ini saya merekomendasikan untuk membaca tulisan saya tentang wong jawani di artikel lain. Di sana Anda akan menemukan ruang henti kajian yang cukup dekat dengan diri Anda sendiri meski kadang terasa jauh juga.

Bagaimana menurut Anda?