Matematika Itu Paradoks

Matematika itu bertabur kontradiksi. Logika itu bertabur paradoks. Pernyataan obyektif itu disusupi subyektif. Setiap denotasi didasarkan pada konotasi. Pernyataan deskriptif, pada analisis akhir, didasarkan pernyataan normatif.

1. Paradoks Godel
2. Paradoks Meta Teori
3. Banyak Paradoks
4. Anti Paradoks
5. Solusi Paradoks: Meraih Masa Depan

Paradoks sudah muncul sejak awal peradaban manusia. Paradoks Zeno sudah berumur lebih dari 2000 tahun. Tetap diperdebatkan sampai sekarang. Paradoks Godel, yang muncul 1930an, adalah tonggak paradoks paling kuat. Godel menunjukkan paradoks dalam setiap sistem formal, misal sistem matematika, yaitu selalu tidak lengkap atau tidak konsisten.

Awalnya, hanya satu paradoks dalam satu sistem. Selanjutnya, kita bisa identifikasi ada beberapa paradoks. Pada akhirnya, setiap sistem mengandung banyak paradoks. Atau, lebih tegas lagi, setiap proposisi didasarkan pada paradoks.

Beberapa ungkapan yang setara dengan paradoks di antaranya kontradiksi, inkonsistensi, dialetik, dialeteik, dan antinomi. Paradoks terjadi ketika suatu proposisi bernilai benar, sekaligus, bernilai salah.

Dari arah berlawanan, kita perlu mempertimbangkan anti-paradoks, yaitu proposisi yang tidak benar, sekaligus, tidak salah. Underdetermined. Agnotisisme. Tak tentu.

Di bagian akhir, saya mengusulkan solusi bagi paradoks adalah meta-teori, meta-perspektif, dan futuristik.

1. Paradoks Godel

Teorema Godel berbeda, jauh, dengan paradoks-paradoks sebelumnya. Umumnya, kita bisa menelusuri paradoks bersumber dari penggunaan aturan bahasa yang salah. Apakah tuhan yang maha kuasa mampu menciptakan batu sangat besar, sedemikian hingga, tuhan tak kuasa mengangkatnya? Tentukan bilangan ganjil yang merupakan kelipatan 6. Harga komputer ini mahal tetapi tidak mahal. Begitu, ya, begitu tetapi jangan begitu.

Paradoks Godel terbebas dari permainan interpretasi bahasa seperti itu. Godel hanya menganalisis sistem formal, sistem aksiomatik matematika, murni dengan matematika itu sendiri. Terbukti, setiap sistem adalah paradoks, tidak konsisten atau tidak lengkap.

2. Paradoks Meta Teori

Godel, dengan rendah hati, mengakui bahwa teorema Godel hanya berlaku untuk sistem formal. Tetapi, banyak orang tergoda untuk menerapkan Godel lebih luas. Apakah bisa?

Saya pikir bisa. Sistem formal adalah sub-sistem dari sistem lain pada umumnya. Atau, dengan kata lain, kita bisa menemukan sub-sistem dari setiap sistem, di mana, sub-sistem tersebut adalah sistem formal. Karena sub-sistem adalah paradoks maka sistem yang lebih besar pasti paradoks, dalam arti, memuat suatu paradoks. Hipotesis ini diperkuat oleh teorema Godel yang menyatakan bahwa paradoks bisa diselesaikan dengan menambahkan aksioma baru, yang pada gilirannya, menghasilkan paradoks baru yang berbeda.

Pada tahun 2022, Weber secara eksplisit memperluas paradoks pada seluruh sistem, teori, atau bahasa.

“… when you meet your friend at “noonish,” when you buy something that is just a little too expensive, when you remark that nothing your uncle says is true. . . . [The domain of inconsistent phenomena] is everywhere.” (NDPR).

Validitas suatu bahasa hanya bisa dipastikan oleh bahasa. Paradoks. Bahasa me-validasi bahasa.

Alternatifnya, kita bisa me-validasi bahasa dengan meta-bahasa. Pada gilirannya, meta-bahasa itu sendiri perlu validasi. Dan, meta-bahasa adalah bahasa itu sendiri. Jadi, bahasa memang paradoks.

Alternatif lainnya adalah validasi bahasa dengan referensi, atau korespondensi, terhadap realitas alam raya. Barangkali, untuk bahasa sederhana misal penamaan meja, kursi, dan rumah bisa dengan referensi ke realitas. Tetapi, struktur bahasa – gramatikal, semantik, dan interpretasi – jauh lebih kaya dari sekedar penamaan realitas. Pendekatan referensi, atau korespondensi, tetap berhadapan dengan paradoks.

Demikian juga, untuk validasi setiap teori, kita membutuhkan meta-teori. Pada gilirannya, meta-teori itu sendiri perlu validasi. Dan, meta-teori adalah teori juga. Sehingga, setiap teori berhadapan dengan paradoks.

3. Banyak Paradoks

Untuk mengkaji sistem, atau mendesain sistem, kita perlu menjamin sistem tersebut konsisten dan lengkap – sampai kadar tertentu.

Lengkap. Pelajari secara lengkap setiap proposisi P atau (-P), negasi P.

Konsisten. Pastikan dalam sistem hanya salah satu P atau (-P) saja.

Alamiah. Tidak ada cara pasti untuk memastikan apakah P atau (-P) yang harus berlaku dalam sistem. Kita hanya bisa menentukan pilihan secara normatif. Jadi, sistem memang paradoks.

Pada awalnya, hanya ada satu proposisi paradoks, misal G. Memang, teorema Godel membuktikan eksistensi paradoks dari G ini secara teoritis. Tetapi, untuk menemukan G hanya bisa dilakukan secara mekanis, membutuhkan waktu dan energi yang besar. Sehingga, untuk membuktikan bahwa setiap sistem formal adalah paradoks, kita cukup menunjukkan dengan sebuah G saja. Apakah memang hanya ada satu paradoks yaitu G?

“… take almost any object; it is a borderline case of some vague predicate. Any red thing is a borderline case of some subcollection within the red things—e.g., the set of “red but also a bit yellowish orange” things. So the collection of objects that are φ and not φ for some closely related predicate is the entire total.” (NDPR).

Hampir setiap obyek, setiap proposisi, setiap sistem adalah paradoks. Kita, umat manusia, bisa bersikap seakan-akan tidak ada paradoks. Atau, paradoks itu tidak signifikan atau tidak relevan.

Pada awalnya, matematika parakonsisten menerima satu paradoks, misal G. Kemudian, menjaga agar paradoks itu tidak “meledak”, agar tidak terjadi ECQ: Ex Contradictio Quotlibet, dari kontradiksi maka apa saja boleh. Syarat untuk inferensi adalah argumen harus relevan dengan kesimpulan. Karena itu, matematika parakonsisten dikenal juga sebagai matematika relevan. Dan, memang berhasil menjaga paradoks tidak “meledak”.

Tetapi, analisis lebih mendalam menunjukkan bahwa paradoks itu tidak hanya satu, tidak hanya G saja. Di mana-mana banyak paradoks. Proposisi demi proposisi berpijak kepada paradoks. Kita memerlukan solusi lebih dari sekedar “lokalisasi” satu paradoks.

Sebelum sampai ke solusi, kita akan membahas dulu kebalikan dari paradoks: anti-paradoks.

4. Anti Paradoks

Paradoks adalah menerima eksistensi kontradiksi atau antinomi. Yaitu, menerima G sebagai benar dan (-G) negasi juga benar. Anti paradoks kebalikan dari paradoks, yaitu G sebagai tidak benar dan (-G) negasi G juga tidak benar.

Contoh anti paradoks,

G: Ada alien cerdas di Pluto.
(-G): Tidak ada alien cerdas di Pluto.

Ada “gap” pada G. Kita tidak bisa memastikan G sebagai benar. Bisa jadi G tidak benar. Demikian juga ada gap pada (-G). Bisa jadi (-G) tidak benar juga. Kita tidak bisa memastikan. Klaim kebenaran apa pun tidak ada masalah. Karena selalu ada gap. Memang anti paradoks.

Anti paradoks memberi seberkas solusi kepada paradoks.

5. Solusi Paradoks: Meraih Masa Depan

Tiba saatnya, kita untuk merumuskan solusi terhadap paradoks. Saya tuliskan ulang masalah yang kita hadapi sebagai konsekuensi dari paradoks.

Meski tulisan ini hanya membahas sebagian dari problem di atas, masing-masing dari kita bisa mengembangkan lebih jauh sesuai kebutuhan. Kita akan melompat ke arah beberapa alternatif solusi.

Solusi Meta Teori

Solusi meta-teori menyarankan agar kita menerima paradoks apa adanya. Setiap teori perlu validasi oleh meta-teori. Sedangkan, meta-teori itu sendiri juga teori. Paradoks sudah pasti terjadi maka kita terima apa adanya.

Dalam banyak kasus, paradoks hanya terdiri pada teori itu sendiri. Sementara, beragam proposisi dalam teori tidak paradoks. Sehingga, kita bisa bekerja dari proposisi ke proposisi. Paradoks ter-lokalisasi hanya pada proposisi tertentu. Paradoks pada teori tidak signifikan pada tataran operasional.

Saya menyebut solusi meta-teori ini sebagai berpijak kepada masa lalu, past.

Solusi Meta Perspektif

Solusi kedua adalah dengan meta-perspektif. Paradoks terjadi pada satu perspektif. Dengan meluaskan perspektif, kita bisa mengatasi paradoks tersebut. Hanya saja, kita perlu waspada bahwa kita terbatas dalam meluaskan perspektif. Maksudnya, tidak mungkin bagi kita untuk melihat teori lengkap dari seluruh perspektif. Pun, tidak mungkin bagi kita melihat teori tanpa perspektif.

Dengan memahami perspektif, kita terbuka terhadap dinamika keragaman perspektif.

Saya menyebut solusi meta-perspektif sebagai berpijak ke masa kini, present.

Solusi Futuristik

Sesuai namanya, solusi futuristik memberi peran besar ke future, masa depan. Paradoks terjadi akibat teori dan perspektif yang terbatas – memang terbatas. Solusi meta-teori dan meta-perspektif telah memberi jalan keluar namun tetap berhadapan dengan paradoks jenis baru. Solusi futuristik menerima solusi meta-teori mau pun meta-perspektif, untuk kemudian, dikembangkan untuk menyongsong masa depan. Atau, lebih tepat, sebaliknya. Future, masa depan, memberi arah bagi meta-teori untuk bergerak maju dan memberi meta-perspektif pilihan yang paling tepat. Mereka – masa lalu dan masa kini – bersatu membentang sampai masa depan. Sehingga, istilah yang lebih tepat bagi solusi futuristik adalah solusi ekstatik. Bagaimana pun, istilah futuristik memiliki kekuatan tersendiri.

Karakter dari futuristik adalah posibilitas, freedom, dan komitmen. Futuristik membuka posibilitas baru, peluang baru, untuk mengembangkan teori-teori lebih maju atau penerapan-penerapan baru dari beragam teori. Futuristik memberi freedom kepada teori, atau saintis, untuk memilih arah pengembangan lebih lanjut. Dan, futuristik menuntut komitmen semua pihak guna mencapai perkembangan masa depan.

Meta-teori dan meta-perspektif adalah “penuh” sehingga memuat paradoks, ada G dan (-G). Sementara, futuristik adalah gap menuju masa depan sehingga anti-paradoks. Gap ini bisa kita sebut sebagai posibilitas.

Kita ambil contoh teori bilangan bulat positif dengan operasi dasar penjumlahan, mirip Peano Arithmetic (PA). Meta-teori, misal teorema Godel, menunjukkan bahwa PA memuat paradoks G. Meta-perspektif, misal teorema Cantor, menunjukkan bahwa PA mengandung padadoks H. Di mana (H): N < 2N dengan N adalah bilangan infinity pertama. Apa solusi futuristik?

Futuristik bertanya,” Ke arah mana kita akan mengembangkan teori?” Misal, kita akan mengembangkan teori informasi (matematika digital) maka futuristik fokus membuka posibilitas teori informasi dengan tetap mewaspadai G. Sehingga, teori informasi bisa terus berkembang dengan tetap terbuka adanya sandungan paradoks G atau konsekuensi dari G. Demikian juga, ketika kita hendak mengembangkan kalkulus (bilangan real), maka teori kalkulus bisa terus maju dan tetap waspada dengan resiko paradoks perspektif bilangan real terhadap bilangan bulat.

Untuk teori lebih umum, bukan sekedar matematika, kita bisa mengembangkan solusi futuristik dengan tetap mempertimbangkan meta-teori dan meta-perspektif.

Jadi, posibilitas baru apa yang terbuka untuk Anda?