Gerbang CH (Continuum Hypothesis): Math Kreatif dan Produktif

CH adalah gerbang matematika sehingga ia menjadi kreatif dan produktif dalam arti luas mau pun ketat. Continuum Hypothesis (CH) terbukti valid yaitu konsisten oleh Godel (1938). Tetapi Cohen (1963) membuktikan kebalikan dari Godel; yaitu kebalikan CH yang valid konsisten terhadap matematika ZFC. Easton melangkah lebih jauh dari Cohen dengan membuktikan bahwa lebih dari satu macam negasi CH yang valid konsisten terhadap ZFC (fondasi matematika yang diterima secara luas). Mengapa CH bisa independen seperti itu? Padahal CH diungkapkan dalam bahasa matematika murni tingkat tinggi yang sangat presisi.

Independensi itu bisa terjadi karena ada barrier, celah, atau jembatan antara bilangan asli N dengan bilangan real R. Celah ini dimanfaatkan oleh Godel untuk membangun jembatan secara disiplin sehingga 2^N = N1 tepat CH menjadi konsisten. Cohen mengeksplorasi celah ini melompat ke N2 yang jauh lebih besar dari N1 sehingga CH batal. Easton membedakan kardinal regular dengan singular sehingga ia memanfaatkan celah bisa melompat ke N3, N7, atau N100. CH benar-benar menjadi gerbang matematika menjadi lebih kreatif dan produktif.

1. Neo Barriers Theorem (NBT)
2. Hantu Kardinal Besar
3. Eksplorasi Celah
4. Diskusi
5. Ringkasan

Menariknya, CH itu melibatkan bilangan tak-hingga yang sangat besar yang mengantar kita ke kardinal besar. Bilangan tak-hingga atau kardinal besar itu tidak bisa kita hitung dengan cara biasa; bahkan komputer juga tidak bisa menghitungnya; kardinal besar itu hanya bisa kita namai saja. Jadi kardinal besar itu bagai hantu matematika bisa disebut namanya tetapi tidak bisa disentuh. Godel yang konsisten berpegang kepada N1 tidak menghadapi hantu matematika. Tetapi Cohen melompat ke N2 sehingga ia dihantui oleh N1. Easton dihantui oleh lebih banyak hantu matematika. Apa status ontologis hantu N1 bagi Cohen dan Easton?

1. Neo Barriers Theorem (NBT)

Dari general barrier theorem Russell, kita mengembangkan master barrier theorem (MBT) dan neo barriers theorem (NBT). MBT menyatakan bahwa sistem formal S tidak entail, tidak meniscayakan, eksistensi realitas R:

S =>/E

Sedangkan NBT menyatakan sistem formal S tidak entail sistem formal lain S1; dan eksistensi realitas E tidak entail eksistensi realitas lain E1:

S =>/ S1
E =>/ E1

Penjelasan dan pembuktian neo barrier theorem (NBT) silakan mengacu ke tulisan saya yang lain.

Sehubungan dengan CH, NBT menyatakan:

ZFC =>/ CH

karena

bilangan asli N =>/ R (bilangan real).

Yaitu ZFC tidak entail CH sehingga CH independen dari ZFC seperti telah dibuktikan oleh Godel dan Cohen kemudian Easton. NBT memberi jawaban “mengapa” bisa independen; berbeda dengan Godel dan Cohen yang memberi bukti independensi CH itu. Lebih jauh, independensi itu disebabkan oleh barrier N ke R.

2. Hantu Kardinal Besar

Cohen dan Easton menghadapi hantu N1 = B^N0 maka berapa nilai B? Jika B = 1 maka tidak mungkin karena memaksa N1 = 1; jika B = 2 maka tepat CH sesuai Godel; tidak mungkin bagi Cohen. Tidak ada hantu N1 bagi Godel (dan Cantor). Jika B > 2 juga tidak mungkin karena 2^N0 saja sudah menjadi N2 menurut Cohen. Jadi hanya tersedia alternatif:

1 < B < 2.

Tentu saja orang bisa menolak formulasi N1 = B^N0. Mereka mengatakan tidak perlu formulasi apa pun. Hanya perlu menerima suksesi ordinalitas N, N1, N2, N3, …

Penolakan semacam itu bisa sah tetapi trivial atau melingkar (begging question). Tentu saja masing-masing orang boleh puas dengan solusi trivial itu dan meyakininya sebagai non-trivial.

N1 memang eksis sebagai ordinal. Tetapi jika B dekat ke 1 misal 1,0001 maka N1 akan diserap oleh N0; akibatnya tidak ada N1 berdampak CH valid (sesuai Godel; Cohen tidak setuju itu). Jika B dekat ke 2 misal 1,9999 maka N1 diserap N2; akibatnya tidak ada N1 berdampak CH valid (sesuai Godel; Cohen tidak setuju itu). Berapa pun nilai B, secara prinsip, N1 bisa diserap oleh N2 atau N0. Akibatnya, Cohen dan Easton dihantui oleh gagasan Godel yaitu CH akan menjadi pemenangnya.

Cohen dan Easton melihat hantu N1 itu benar-benar ada sebagai jembatan antara N0 dan N2. Tetapi mereka hanya bisa melihat jembatan N1 tanpa bisa menginjakkan kaki di jembatan. Sekadar menyentuh jembatan pun mereka tidak bisa. Mereka hanya melayang dari N0 menuju N2 dihantui oleh N1 di depan mata.

Apa yang bisa dilakukan Cohen dan Easton terhadap hantu N1? Kita akan membahas solusinya di bawah.

3. Eksplorasi Celah

Godel adalah orang pertama yang eksplorasi celah ZFC ke CH dengan memanfaatkan celah N ke R. Dengan gayanya yang skeptis Platonis, Godel memasuki celah dengan langkah penuh disiplin. Semua yang ia perlukan dibangun secara bertahap dari dasar. Hasilnya, ia melompat dari ujung N menggapai tepat R sebagai N1. Semua berjalan rapi sesuai rencana.

Cohen heran mengapa harus melangkah pelan-pelan seperti Godel? Bukannya kita bisa melompat jauh lebih tinggi? Cohen berhasil melompat langsung ke N2. Bagaimana nasib N1? Cohen melihat N1 ketika melompat tapi ia tidak berhasil menyentuhnya.

Easton lebih berani lagi: mengapa tidak langsung melompat lebih tinggi ke N17 atau lainnya? Melompat tinggi itu melelahkan. Tapi Easton memberi tahu: jika kamu melompat bersama kardinal regular maka kamu bebas melompat ke mana saja tanpa risiko lelah berlebihan. Benar saja, Easton bisa melompat ke N17 atau N100. Tetapi Easton tidak hanya dihantui oleh N1 saja melainkan oleh N99 juga.

4. Diskusi

Bagaimana menurut Anda?

5. Ringkasan